ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
В методических указаниях рассмотрен ряд методов построения
асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Особое внимание уделено методу ВКБ.
1. Эвристические соображения.
Рассмотрим уравнение второго порядка
2
()0
ykqxy
′′
−=
(1.1)
на конечном отрезке
[;]
Iab
=
. Будем предполагать , что
0
k
>
, функция
()
qx
вещественна, строго положительна и бесконечно дифференцируема при
xI
∈
.
Нас интересует поведение решений уравнения (1.1) при
k
→+∞
. Такого
рода задачи возникают в самых разных физических моделях , в частности в
задачах о распространении звуковых , электромагнитных , упругих волн и в
квантовой механике.
Если
q
−
постоянная, то уравнение (1.1) имеет два линейно
независимых решения
1,2
kqx
ye
±
=
. Будем искать решение в виде экспоненты ,
умноженной на ряд по степеням
1/
k
:
()
01
11
[()()...()...].
kSx
n
n
yeaxaxax
kk
=++++
Сходимость ряда мы пока обсуждать не будем .
При вычислениях удобнее искать
y
в несколько ином виде
0
1
10
()()
exp[(()()......)].
x
n
n
x
tt
ykttdt
kk
αα
αα
−
=+++++
∫
(1.2)
Сделаем в (1.1) подстановку
1
,
y
w
y
′
=
(1.3)
тогда для
w
получим уравнение Риккати
22
()
wwkqx
′
+= . (1.4)
Имеем из (1.2), (1.4)
1
10
()
()()...
x
wkxx
k
α
αα
−
=+++
Подставим это выражение в (1.4):
222
1011
()[2()()()]...()
kxkxxxkqx
αααα
−−−
′
+++=
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
k
:
1
Провести выкладки, связанные с подстановкой .
2
В методических указаниях рассмотрен ряд методов построения
асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Особое внимание уделено методу ВКБ.
1. Эвристические соображения.
Рассмотрим уравнение второго порядка
y′′ −k 2 q ( x ) y =0 (1.1)
на конечном отрезке I =[a; b] . Будем предполагать, что k >0 , функция q( x)
вещественна, строго положительна и бесконечно дифференцируема при x ∈I .
Нас интересует поведение решений уравнения (1.1) при k → +∞. Такого
рода задачи возникают в самых разных физических моделях, в частности в
задачах о распространении звуковых, электромагнитных, упругих волн и в
квантовой механике.
Если q − постоянная, то уравнение (1.1) имеет два линейно
независимых решения y1,2 =e ±k qx
. Будем искать решение в виде экспоненты,
умноженной на ряд по степеням1/ k :
1 1
y =e kS ( x ) [ a0 ( x) + a1 ( x) +... + n an ( x) +...].
k k
Сходимость ряда мы пока обсуждать не будем.
При вычислениях удобнее искать y в несколько ином виде
x α (t ) α (t )
y =exp[ ∫ (kα −1 (t ) +α0 (t ) + 1 +... + n n +...) dt ]. (1.2)
x0 k k
1
Сделаем в (1.1) подстановку
y′
=w, (1.3)
y
тогда для w получим уравнение Риккати
w′ +w2 =k 2 q ( x ) . (1.4)
Имеем из (1.2), (1.4)
α ( x)
w =kα −1 ( x) +α0 ( x) + 1 +...
k
Подставим это выражение в (1.4):
k 2α −21 ( x) +k[2α 0 ( x)α −1 ( x) +α −′ 1 ( x)] +... =k 2 q ( x)
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях k :
1
Провести выкладки, связанные с подстановкой.
