ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
2
1101
()(),2()()()0,...
xqxxxxαααα
−−−
′
=+=
Отсюда находим
10
()
(),,...
4()
qx
qx
qx
αα
−
′
=±=−
(
0
()
x
α
не зависит от выбора
знака корня), и можно затем последовательно найти
12
(),(),...
xx
αα
Подставляя эти значения в (1.2) и учитывая, что
1/4
()1
exp[]exp[ln()](()),
4()4
x
c
qt
dtCqxCqx
qt
−
′
−=−=
∫
получаем (с точностью до
1
())
Ok
−
два приближенных решения
1/4
1,2
()exp[()]()
x
c
yqxkqtdtk
−
≈±→+∞
∫
(1.5)
Отметим, что
2
1
3/25/2
1()5(())
()
8(())32(())
qxqx
x
qxqx
α
′′′
=⋅−⋅
(это отвечает выбору
q
+
в экспоненте ).
В последующих лекциях эти формальные соображения будут строго
обоснованы. Асимптотические формулы (1.5) носят название ВКБ –
приближение (по именам Г . Вентцеля , Г . Крамера, Л . Бриллюэнта , которые
получили эти формулы в 1926 году в связи с задачами механики), или
коротковолновое приближение.
2. Основные оценки.
Преобразование уравнения. Рассмотрим уравнение
()0
yQxy
′′
−=
(2.1)
на интервале
(;),
Iabab
=<
, конечном или бесконечном .
Условие 1. Функция
()
Qx
имеет две непрерывные производные и не
обращается в нуль при
xI
∈
.
Уравнение (2.1) эквивалентно системе
01
()0
yy
yQxy
′
=
′′
. (2.2)
С учетом введенного ранее обозначения
2
1
3/25/2
1()5(())
()
8(())32(())
QxQx
x
QxQx
α
′′′
=⋅−⋅ ; (2.3)
нетрудно доказать с помощью непосредственных утверждений следующее
утверждение
2
2
Провести выкладки, связанные с получением (2.3)
3
α −21 ( x ) =q ( x), 2α −1 ( x)α0 ( x ) +α −′ 1 ( x ) =0,...
q ′( x )
Отсюда находим α −1 =± q ( x), α0 =− ,... ( α 0 ( x ) не зависит от выбора
4q ( x )
знака корня), и можно затем последовательно найти α1 ( x),α 2 ( x),...
Подставляя эти значения в (1.2) и учитывая, что
x q′(t ) 1
exp[−∫ dt ] =C exp[− ln q( x)] =C (q ( x))−1/ 4 , получаем (с точностью до
c 4q (t ) 4
O (k −1 )) два приближенных решения
x
y1,2 ≈q −1/ 4 ( x)exp[±k ∫ q (t ) dt ] (k → +∞) (1.5)
c
Отметим, что
1 q′′( x) 5 (q′( x))2
α1 ( x) = ⋅ − ⋅
8 (q( x))3 / 2 32 (q ( x))5 / 2
(это отвечает выбору + q в экспоненте).
В последующих лекциях эти формальные соображения будут строго
обоснованы. Асимптотические формулы (1.5) носят название ВКБ –
приближение (по именам Г. Вентцеля, Г. Крамера, Л. Бриллюэнта, которые
получили эти формулы в 1926 году в связи с задачами механики), или
коротковолновое приближение.
2. Основные оценки.
Преобразование уравнения. Рассмотрим уравнение
y′′ −Q( x) y =0 (2.1)
на интервале I =( a; b), a 
