Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 4 стр.

                                                4

        Лемма. Преобразование
y ( x) =u1 ( x) +u2 ( x)
                      1 Q′( x)                    1 Q′( x)                                (2.4)
y′( x) =( Q( x) −              )u1 ( x) −( Q( x) +         )u2 ( x)
                      4 Q( x)                     4 Q( x)
приводит систему (2.2) к виду

               � u� 1′          � 1 0�  Q′(� x) 1� 0�       1   1 � � u� 1
              � u� ′ =[ Q( x) �      � − �        �   � +α1         ]� � . (2.5)
             � �2             � 0 −� 1 4Q (� x) 0� 1�       −1 −1�� � u� 2
          Доказательство. Самостоятельно.3
          Замечание. Поясним смысл и конструкцию преобразования (2.4) на
примере уравнения y′′ −k 2 q ( x) y =0 , где             k − большой параметр. Так как
Q( x) =k 2q ( x) в данном случае, то α1 ( x, k ) =O( k −1 ) , и матрица системы (2.5)
диагональная, с точностью до малых членов порядка O(k −1 ) . Система (2.2)
имеет вид
                                       � y�              �      0 � 1
               Y ′ =A( x, k ) Y , Y =� � ,            A =� 2            .
                                      � y� ′           �    k q( x)� �0
Будем вначале искать преобразование Y                 =T0 ( x) Z , приводящее систему к
почти диагональному виду с точностью до O(1) . Эта подстановка приводит к
                      dT0
системе Z ′ =(T0−1 AT0 −T0−1
                          ) Z , откуда видно, что в качестве T0 ( x) следует
                      dx
взять матрицу, приводящую матрицу A( x, k ) к диагональному виду.
Собственные значения этой матрицы равны ±k q ( x) (и различны при всех
x ∈I , так как q( x) ≠0 ), а собственные векторы (столбцы) равны (1; ± q( x))T ,
                                 �    1          1 �
так что можно положить T0 =��                        �� . Тогда получим систему
                                   � q( x) − q( x� )
                         dT ( x)
Z ′ =[k Λ ( x) −T0−1 ( x) 0 ]Z , где      Λ ( x) − диагональная матрица с
                           dx
диагональными элементами                     q , − q.      Итак, система приведена к
диагональному             виду   с    точностью     до     членов      порядка O(1) .    Чтобы
диагонализировать                ее      с       точностью            до O (k −1 ) ,    сделаем


3
    Провести доказательство.