Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 5 стр.

                                                     5

подстановку Z =( I +k −1T1 ( x ))U . Так как ( I +k −1T1 ( x)) −1 =I −k −1T1 ( x) +O ( k −2 ),
то полученная система примет вид
                                                   dT0 ( x)
            U ′ =[k Λ ( x) +(T1 ( x)Λ ( x) −Λ ( x)T1 ( x) −T0−1 ( x)
                                                            ) +O(k −1 )]U .
                                                     dx
Матрицу T1 ( x) можно найти из условия, чтобы заключенная в круглые скобки
матрица была диагональной. Эти соображения и приводят к подстановке
(2.4).
       Оценка решений. Если в системе (2.5) отбросить члены,
содержащие α1 ( x) , то система распадется на два независимых уравнения.
Укороченная система имеет решения
                                 u j ( x) =y 0j ( x0 , x)e j , j =1,2,                           (2.6)
где обозначено
                                     e1 =(1; 0),           e2 =(0; 1),
                                     0
                                    y1,2 ( x0 , x) =Q −1/ 4 ( x )e ±S ( x0 , x ) ,               (2.7)

                                                                x
                                          S ( x0 , x) =∫ Q (t ) dt .                             (2.8)
                                                            x0

       Покажем, что при условиях, которые будут сформулированы ниже,
система (2.5) имеет решения, близкие к                              u1 , u 2 . Тогда, воспользовавшись
соотношениями (2.4), получим приближенные формулы для решений
уравнения (2.1). Обозначим
                                                           x
                                        ρ( x0 , x) =| ∫ | α1 (t ) | dt | .                       (2.9)
                                                           x0

       Предположение 2. Существует дважды непрерывно дифференцируемая
при x ∈I ветвь корня          Q( x) , такая, что
                                               Re Q( x) ≥0, x ∈I .
Во всех последующих формулах фигурирует именно эта ветвь.
     Замечание. Если функция Q( x) вещественна, то предположение 2
следует      из     условия Q( x) ≠0 , x ∈I .                   Пусть Q( x) >0 ;     искомая    ветвь
есть Q( x) >0 . Если          же     Q( x) <0 , то                  Q( x) − чисто мнимое число, и в
качестве
искомой ветви можно взять Q( x) =i⋅ | Q( x) | .
       Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1,2 и
                              ρ(a, x) <∞, x ∈I .                                                (2.10)