Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Тогда уравнение (2.1) имеет решение
1
()
yx
такое , что
2(,)
1
0
10
()
12(1),.
(,)
ax
yx
exI
yxx
ρ
−≤⋅−∈
(2.11)
Доказательство . Подстановка
0
10
()(,)v(),1,2
jj
uxyxxxj== приводит
систему (2.5) к виду
111122112
xQxxαα
′′
=++=−+ Решим
эту систему, считая правые части известными функциями; тогда получим
систему интегральных уравнений
1
2
11112
22012
v()(v()v()),
vexp{2(,)}exp{2(,)}()(v()v()).
x
x
x
i
x
Ctttdt
CSxxSxttttdt
α
α
=++
=−−+
∫
∫
Положим
12
1,0
CC
==
и
12
xxa
==
, тогда получим систему
1112
2112
v()1()(v()v()),
v()exp{2(,)}()(v()v()).
x
a
x
a
xtttdt
xSxttttdt
α
α
=++
=−+
∫
∫
(2.12)
Покажем , что на интервале
(,)
ax
, по которому ведется интегрирование,
выполняется оценка
|exp{2(,)}|1.
Sxt
≤
(2.13)
Действительно,
Re()0
Qx
≥
при
xI
∈
и так как
atx
<≤
, то
Re(,)Re()0
x
t
SxtQtdt
′′
=−≤
∫
,
откуда следует
(2.13)
.
Применим метод последовательных приближений к системе (2.12),
положив
00
12
1
1112
1
2112
v()1;v0;
v()1()(v()v()),
v()exp{2(,)}()(v()v()).
x
nnn
a
x
nnn
a
x
xtttdt
xSxttttdt
α
α
+
+
==
=++
=−+
∫
∫
Имеем
11
1121
|v()1||()|(,),|v()||()|(,).
xx
aa
xtdtaxxtdtax
αραρ−≤=≤=
∫∫
Последняя оценка следует из (2.13). Покажем по индукции, что
1
(2(,))
|v()v()|,1,2.
!
n
nn
jj
ax
xxj
n
ρ
−
−≤= (2.14)
При
1
n
=
оценка доказана; совершим переход индукции от
n
к
1
n
+
. Имеем 
                                                                   6

Тогда уравнение (2.1) имеет решение y1 ( x) такое, что
                                     y1 ( x)
                                    0
                                                −1 ≤2 ⋅ (e2 ρ ( a , x ) −1), x ∈I .             (2.11)
                                   y1 ( x0 , x)
      Доказательство. Подстановка u j ( x) =y10 ( x0 , x) v j ( x), j =1, 2 приводит
систему (2.5) к виду v1′ =α1 ( x)(v1 +v1 ), v′2 +2 Q ( x ) v2 =−α1 ( x )(v1 +v2 ). Решим
эту систему, считая правые части известными функциями; тогда получим
систему интегральных уравнений
                                               x
                        v1 =C1 +∫ α1 (t )(v1 (t ) +v2 (t )) dt ,
                                           x1
                                                              x
           v 2 =C2 exp{−2S ( x0 , x)} −∫ exp{2S ( x, t )}αi (t )(v1 (t ) +v2 (t )) dt .
                                                              x2

Положим C1 =1, C2 =0 и x1 =x2 =a , тогда получим систему
                                                              x
                                 v1 ( x) =1 +∫ α1 (t )(v1 (t ) +v 2 (t )) dt ,
                                                              a
                                           x
                                                                                                (2.12)
                       v 2 ( x) =−∫ exp{2 S ( x, t )}α1 (t )(v1 (t ) +v 2 (t )) dt.
                                           a

Покажем, что на интервале ( a, x) , по которому ведется интегрирование,
выполняется оценка
                                                    | exp{2S ( x, t )}| ≤1.                     (2.13)
Действительно, Re Q( x) ≥0 при x ∈I и так как a

Страницы