Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
111
1111122
1
1
|v()v||()|[|v()v()||v()v()|]
2(2(,))
|()|2{(,)},
!(1)!
x
nnnnnn
a
nn
x
n
a
xtttttdt
ax
tatdt
nn
α
ρ
αρ
+−−
+
−≤−+−≤
≤⋅=
+
∫
∫
так как
1
(,)|()|
dattdt
ρα
=
. Точно так же
4
доказывается оценка (2.14) при
2
=
;
в этом случае необходимо учесть оценку (2.13).
Рассмотрим ряды
1
0
v()(v()v()),1,2.
nn
jjj
n
xxxj
∞
+
=
=−=
∑
Из оценки (2.14)
и условия (2.10) следует, что эти ряды сходятся абсолютно и равномерно на
любом интервале вида
(;),
axxb
<
и что
12
|v()1|exp{2(,)}1;|v()|exp{2(,)}1
xaxxax
ρρ
−≤−≤−
. (2.15)
Из (2.4) находим
0
11012
(,)[v()v()]
yyxxxx
=⋅+ , так что
1
1212
0
1
()
1|v()v()1||v()1||v()|
()
yx
xxxx
yx
−≤+−≤−+
и из (2.15) следует (2.11). Теорема доказана.
Получим оценку для
1
()
yx
′
. Из соотношения (см .(2.4))
0
11012
3/23/2
()()
()(,)()[(1)v()(1)v()]
4()4()
QxQx
yxyxxQxxx
QxQx
′′
′
=−−+
и оценки (2.15) вытекает
Следствие 1. Справедлива оценка
1
3/23/2
0
10
()()()
141(exp{2(,)}1).
4()4()
()(,)
yxQxQx
ax
QxQx
Qxyxx
ρ

′′′
−≤++−


(2.16)
Сравнивая (2.11), (2.16) и учитывая, что
(,)0
ax
ρ
→
при
xa
→
, получаем
Следствие 2. Решение
1
()
yx
удовлетворяет краевому условию
1
11
()
lim()[(())()]1,
4()
xa
Qx
yxQxyx
Qx
−
→
′
′
−=
(2.17)
если
3/2
()/()0
QxQx
′
→
при
xa
→
.
Построим решение
2
()
yx
. Точно так же, как и теорема 1, доказывается
5
Теорема 2.
Пусть выполнены условия теоремы 1 с той лишь разницей,
что
(,),.
xbxI
ρ
<∞∈
(2.18)
Тогда уравнение (2.1) имеет решение
2
()
yx
такое , что
4
Доказать (2.14) при j = 2.
5
Доказать теорему 2. 
                                                              7

                                         x
               | v1n +1 ( x) −v1n | ≤∫ | α1 (t ) |[| v1n (t ) −v1n −1 (t ) | +| v n2 (t ) −v n2 −1 (t ) | ] dt ≤
                                         a
                                  n
                                 2 x                                     (2 ρ( a, x))n +1
                                 n! ∫a
                            ≤          | α  (t ) | ⋅2{ ρ ( a , t )}n
                                                                     dt =                 ,
                                                                            (n +1)!
                                          1


так как d ρ(a, t ) =| α1 (t ) | dt . Точно так же4 доказывается оценка (2.14) при j =2 ;
в этом случае необходимо учесть оценку (2.13).
                                                      ∞
           Рассмотрим ряды v j ( x) =∑ (v nj +1 ( x ) −v nj ( x)),                     j =1,2. Из оценки (2.14)
                                                     n =0

и условия (2.10) следует, что эти ряды сходятся абсолютно и равномерно на
любом интервале вида ( a; x), x

Страницы