Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
01
|exp{2(,)}1|(,)
xCx
ρρ
∞−≤∞
при достаточно больших
x
. Поэтому оценку
(2.19) можно записать в виде
2
0
20
()
1(,).
(,)
yx
Cx
yxx
ρ
−≤∞
Из этой оценки и определения функции
0
20
(,)
(см . (2.7), (2.8)) следует
существование решения
2
()
yx
, для которого справедливы формулы (3.3),
(3.4). Чтобы доказать существование решения
1
()
yx
, достаточно заметить , что
если
()
yx
−
решение уравнения (3.1), то
()
yx
- также решение.
Следствие . Пусть выполнено условие
3/2
()
lim0.
()
x
Qx
Qx
→∞
′
=
(3.5)
Тогда решения
12
(),()
yxyx
линейно независимы и их асимптотику можно
дифференцировать , т.е.
0
1/4
1,2
()()exp{()}().
x
x
yxiQxiQtdtx
′
±±→∞
∫
:
(3.6)
Доказательство. Из оценки (3.20) и условия (3.5) следует (3.6) для
2
();
yx
′
аналогично доказывается формула
(3.6)
для
1
()
yx
′
. Из
(3.3)
′
, (3.6)
получаем , что при
1
x
?
вронскиан
w()
x
решений
12
(),()
yxyx
равен
1(1)1(1)
w()2(1).
1(1)1(1)
oo
xiio
oo
++
=⋅=−+
+−+
Так как вронскиан
6
от
x
не зависит, то, устремляя
x
к бесконечности ,
получаем
w()2
xi
=−
, (3.7)
и линейная независимость построенных решений доказана.
Вместо
1,2
()
yx
можно взять вещественные решения
3,4
()
yx
со
следующими асимптотиками при
x
→∞
:
0
1/4
3
()()[cos()(1)],
x
x
yxQxQtdto
−
=+
∫
0
1/4
3
()()[sin()(1)],
x
x
yxQxQtdto
−
′
=−+
∫
0
1/4
4
()()[sin()(1)],
x
x
yxQxQtdto
−
=+
∫
6
Что такое вронскиан, почему он не зависит от x ? Последний факт – с доказательством . 
                                                         9

| exp{2 ρ( x0 , ∞)} −1| ≤C1ρ( x, ∞) при достаточно больших x . Поэтому оценку
(2.19) можно записать в виде
                                            y2 ( x )
                                             0
                                                        −1 ≤ C ρ( x, ∞).
                                           y ( x0 , x )
                                             2

Из этой оценки и определения функции y20 ( x0 , x) (см. (2.7), (2.8)) следует
существование             решения y2 ( x) , для которого справедливы формулы (3.3),
(3.4). Чтобы доказать существование решения y1 ( x) , достаточно заметить, что
если y ( x) − решение уравнения (3.1), то y ( x) - также решение.
          Следствие. Пусть выполнено условие

                                                       Q′( x)
                                                 lim               =0.                                 (3.5)
                                                 x→ ∞ Q 3 / 2 ( x)


Тогда решения y1 ( x ), y2 ( x) линейно независимы и их асимптотику можно
дифференцировать, т.е.
                                                                      x
                            ′ ( x) : ±iQ1/ 4 ( x )exp{±i ∫ Q (t ) dt} ( x → ∞).
                           y1,2                                                                        (3.6)
                                                                      x0

         Доказательство. Из оценки (3.20) и условия (3.5) следует (3.6) для
y′2 ( x); аналогично доказывается формула (3.6) для y1′ ( x) . Из (3.3′) , (3.6)
получаем, что при x ? 1 вронскиан w( x ) решений y1 ( x), y2 ( x) равен
                                             1 +o(1)         1 +o(1)
                                w( x) =i ⋅                                 =−2i +o(1).
                                             1 +o(1) −1 +o(1)
Так как вронскиан6 от x не зависит, то, устремляя x к бесконечности,
получаем
                              w( x ) =−2i ,                     (3.7)
и линейная независимость построенных решений доказана.
     Вместо y1,2 ( x) можно взять вещественные решения                                     y3,4 ( x)     со
следующими асимптотиками при x → ∞:
                                                              x
                               y3 ( x) =Q −1/ 4 ( x)[cos ∫ Q (t ) dt +o(1)],
                                                             x0
                                                                  x
                              y3′ ( x) =−Q −1/ 4 ( x)[sin ∫ Q(t ) dt +o(1)],
                                                              x0

                                                              x
                               y4 ( x) =Q −1/ 4 ( x)[sin ∫ Q(t ) dt +o(1)],
                                                             x0




6
    Что такое вронскиан, почему он не зависит от x ? Последний факт – с доказательством.

Страницы