Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 10 стр.

                                                         10

                                                              x
                               y′4 ( x) =Q −1/ 4 ( x)[cos ∫ Q (t ) dt +o (1)].
                                                              x0

Их вронскиан равен w =1 .
     Полученные асимптотические формулы показывают, что все решения
уравнения (3.1) осциллируют при больших x .
     Обсудим одно из важнейших условий теоремы 1 – условие 3. Пусть
Q ( x ) =C1 xγ (здесь и ниже C j − постоянные), C1 >0 , тогда α1 =C2 x −2−γ / 2 и
интеграл (3.2) сходится, если γ >−2. При γ >−2 выполняется также условие
(3.5). В частности, если Q( x) − многочлен (с положительным коэффициентом
при старшей степени), то все условия теоремы и следствия выполнены.
                                                                                         γ
Нетрудно проверить, что если Q( x) есть функция вида C3 (ln x) β , C4 eC5 x , где
C j >0, γ >0, β −любое вещественное число, то все условия теоремы 1 и
следствия выполнены.7 Эти условия выполняются также, если асимптотика
функции Q( x) имеет один из указанных выше типов и ее можно
дважды
дифференцировать. Например,
    Q ( x ) : axγ , Q′( x) : γa γ−1 , Q′′( x) : γ(γ −1)ax γ−2 , a >0, γ >−2 ( x → +∞).
Отметим также, что во всех этих случаях,
                                                ∞
                                               ∫x0
                                                     Q( x) dx =+∞.                           (3.9)

          Условие (3.2) означает, что функция Q( x) «не слишком быстро убывает
при x → ∞» (медленнее, чем x −2 ) и достаточно правильно ведет себя на
бесконечности.
      При условии (3.9) решения y3 ( x), y4 ( x) имеют бесконечно много
положительных нулей, и если xn , xn +1 − соседние нули одного из решений, то
                                    xn +1
                                  ∫xn
                                            Q(t ) dt =π +o(1), (n → ∞).                  (3.10)

          Пример 3.1. 8 Доказать, что уравнение Эйри y′′ −xy =0 имеет решения,
такие, что при x → −∞
                                                 2
                        y1 ( x) =| x |−1/ 4 [cos( | x |3 / 2 ) +O (| x |−3 / 2 )],
                                                 3
                                                 2
                        y2 ( x) =| x |−1/ 4 [sin( | x |3 / 2 ) +O(| x |−3 / 2 )].
                                                 3

7
    Проверить все высказанные утверждения о выполнении условия 3.
8
    Решить пример