Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
и поэтому последовательность
()
n
yx
равномерно сходится к функции
()
yx
на
полуоси
0
x
≥
. Так как , по доказанному, функция
()
yx
ограничена, то из
(3.14) находим
|()e||()|
ikx
x
∞
−≤
∫
. Правая часть этого неравенства
стремится к нулю при
x
→+∞
, в силу условия (3.12), и решение
1
()
yx
построено. Аналогично строится решение
2
()
yx
.
11
Допустим, что эти решения линейно зависимы, тогда
1122
()()0
cyxcyx
+≡
при
0
x
≥
. Если
1
0
c
≠
, то
1221
()/()/
yxyxcc
≡−
. Но из (3.13)
следует, что
2
12
()/()e()
ikx
yxyxx
→∞
: , так что
21
e/()
ikx
ccx
−→∞
: . Это
невозможно, так как предел левой части этого равенства при
x
→∞
не
существует.
Следствие 1. В условиях теоремы 2 справедливы оценки
12
|()e||()|,|()e||()|.
ikxikx
xx
yxCVtdtyxCVtdt
∞∞
−
−≤−≤
∫∫
(3.15)
Следствие 2. Если
lim()0
x
Vx
→∞
=
, то асимптотические формулы (3.13)
можно дифференцировать
1,2
()e()
ikx
yxikx
±
′
±→+∞
: . (3.16)
Для доказательства достаточно продифференцировать уравнение (3.14).
Неосциллирующие решения. Рассмотрим уравнение
()0.
yQxy
′′
−=
(3.17)
Теорема 3.
Если условия теоремы 1 выполнены, то уравнение (3.17)
имеет решения вида
0
1/4
1,21,2
()()exp{()}(1()),lim()0,1,2.
x
j
x
x
yxQxQtdtxxjεε
−
→∞
=±+==
∫
(3.18)
Справедлива оценка
21
|()||()|.
x
xCtdt
εα
∞
≤
∫
(3.19)
Если , кроме того, выполнено условие (3.5), то
0
1/4
1,2
()()exp{()}()
x
x
yxQxQtdtx
′
±±→∞
∫
: (3.20)
и решения
12
(),()
yxyx
линейно независимы.
11
Провести выкладки для y
2
(x) 
                                                           12

и поэтому последовательность yn ( x) равномерно сходится к функции y ( x) на
полуоси x ≥0 . Так как, по доказанному, функция y( x) ограничена, то из
                                                    ∞
(3.14) находим              | y ( x) −eikx | ≤∫ | V (t ) | dt . Правая часть этого неравенства
                                                   x

стремится к нулю при x → +∞ , в силу условия (3.12), и решение y1 ( x)
построено. Аналогично строится решение y2 ( x) .11
          Допустим,       что    эти     решения        линейно          зависимы,       тогда
c1 y1 ( x) +c2 y2 ( x) ≡0 при x ≥0 . Если c1 ≠0 , то y1 ( x) / y2 ( x) ≡−c2 / c1 . Но из (3.13)
следует, что y1 ( x) / y2 ( x) : e 2ikx ( x → ∞) , так что                        eikx : −c2 / c1 ( x → ∞) . Это
невозможно, так как предел левой части этого равенства при x → ∞ не
существует.
     Следствие 1. В условиях теоремы 2 справедливы оценки
                                        ∞                                               ∞
                 | y1 ( x) −eikx | ≤C ∫ | V (t ) | dt , | y2 ( x) −e−ikx | ≤C ∫ | V (t ) | dt.           (3.15)
                                       x                                               x

          Следствие 2. Если limV ( x) =0 , то асимптотические формулы (3.13)
                                           x→ ∞

можно дифференцировать
                                      ′ ( x) : ±ik e ±ikx
                                     y1,2                               ( x → +∞) .                      (3.16)
          Для доказательства достаточно продифференцировать уравнение (3.14).
          Неосциллирующие решения. Рассмотрим уравнение
                                  y′′ −Q ( x) y =0.                    (3.17)
     Теорема 3. Если условия теоремы 1 выполнены, то уравнение (3.17)
имеет решения вида
                                           x
          y1,2 ( x) =Q −1/ 4 ( x)exp{±∫ Q(t ) dt}(1 +ε1,2 ( x)), lim ε j ( x ) =0, j =1,2.               (3.18)
                                        x0                                    x→ ∞

Справедлива оценка
                                                                ∞
                                               | ε2 ( x) | ≤C ∫ | α1 (t ) | dt.                          (3.19)
                                                                x

          Если, кроме того, выполнено условие (3.5), то
                                                                    x
                             ′ ( x) : ±Q1/ 4 ( x)exp{±∫ Q (t ) dt}
                            y1,2                                                     ( x → ∞)            (3.20)
                                                                x0

и решения y1 ( x ), y2 ( x) линейно независимы.




11
     Провести выкладки для y2 (x)

Страницы