Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
так что
2
()yx
→+∞
при
x
→∞
. Аналогично
14
доказывается второе из
соотношений (3.22).
Итак , в условиях следствия уравнение (3.17) имеет убывающее при
x
→∞
решение
2
()
yx
. Все остальные решения, не пропорциональные этому,
растут при
x
→∞
.
Пример 3.3.
15
Доказать , что уравнение Эйри (см . пример 3.1) имеет
решения такие, что при
x
→+∞
1/42/33/2
3
1/42/33/2
4
exp[(2/3)][1()],
exp[(2/3)][1()].
yxxOx
yxxOx
−−
−−
=+
=−+
Решение, которое отличается от
4
()
yx
лишь постоянным множителем , а
именно,
4
1
Ai()()
2
π
= , называется функцией Эйри и играет важную роль
в задачах распространения волн .
Пример 3.4.
16
Рассмотрим уравнение Вебера
22
()0,0.
yxaya
′′
+−=≥
Его решения называются функциями Вебера или функциями параболического
цилиндра . Доказать , что уравнение Вебера имеет решения такие, что
при
x
→∞
:
2222
1/2/2/21/2/2/2
12
(),().
axax
yxxeyxxe
−−−+−
::.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда уравнение
2
(())0
ykVxy
′′
−+=
(3.23)
имеет линейно независимые решения вида
1,2
()e().
kx
yxx
±
→+∞
:
(3.24)
Доказательство. Решение
2
()
yx
строится точно так же
17
, как и в теореме
2, а решение
1
()
yx
определим формулой (3.21), где
2
()()
QxkVx
=+ .
Тогда
2
112
()e(1())e(1()),
x
kxkt
a
yxxtdt
εε
−
=++
∫
где
()0
j
x
ε
→
при
x
→+∞
. Тем же
способом , что и выше, нетрудно показать , что интеграл из правой части этого
равенства равен
2
e(1(1))
kx
o+ при
x
→+∞
.
4. Асимптотика решений при больших значениях параметра
Осциллирующие решения.
Рассмотрим уравнение
2
()0,
ykqxy
′′
+=
(4.1)
14
Доказать
15
Решить пример
16
Решить пример
17
Построить решение 
                                                                       14

так что           y2 ( x) → +∞ при x → ∞. Аналогично14 доказывается второе из
соотношений (3.22).
     Итак, в условиях следствия уравнение (3.17) имеет убывающее при
x → ∞ решение y2 ( x) . Все остальные решения, не пропорциональные этому,
растут при x → ∞.
      Пример 3.3. 15Доказать, что уравнение Эйри (см. пример 3.1) имеет
решения такие, что при x → +∞
                            y3 =x −1/ 4 exp[(2 / 3) x 2 / 3 ][1 +O ( x −3 / 2 )],
                            y4 =x −1/ 4 exp[−(2 / 3) x 2 / 3 ][1 +O( x −3 / 2 )].
Решение, которое отличается от y4 ( x) лишь постоянным множителем, а
                 1
именно, Ai( x) =     y4 ( x) , называется функцией Эйри и играет важную роль
                2 π
в задачах распространения волн.
      Пример 3.4. 16Рассмотрим уравнение Вебера y′′ +( x 2 −a 2 ) y =0, a ≥0.
Его решения называются функциями Вебера или функциями параболического
цилиндра. Доказать, что уравнение Вебера имеет решения такие, что
при x → ∞:
     y1 ( x) : x −1/ 2−a / 2e x
                        2         2
                                           , y2 ( x) : x −1/ 2+a / 2e −x / 2 . .
                                                                 2        2
                                      /2


          Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда уравнение
                               y′′ −(k 2 +V ( x )) y =0                (3.23)
имеет линейно независимые решения вида
                                                     y1,2 ( x) : e ±kx ( x → +∞).                    (3.24)
          Доказательство. Решение y2 ( x) строится точно так же17, как и в теореме
2, а       решение y1 ( x) определим формулой (3.21),                               где Q( x) =k 2 +V ( x) .
                                                     x
Тогда y1 ( x) =e−kx (1 +ε1 ( x)) ∫ e2 kt (1 +ε2 (t )) dt , где ε j ( x) → 0 при x → +∞. Тем же
                                                     a

способом, что и выше, нетрудно показать, что интеграл из правой части этого
равенства равен e2 kx (1 +o(1)) при x → +∞ .
           4. Асимптотика решений при больших значениях параметра
          Осциллирующие решения. Рассмотрим уравнение
                                y′′ +k 2 q ( x) y =0,                                                  (4.1)
14
   Доказать
15
   Решить пример
16
   Решить пример
17
   Построить решение

Страницы