Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Доказательство. Существование решения
2
()
yx
и оценка (3.19)
доказываются точно так же, как и в теореме 1.
12
Пусть
интеграл
1
()Qxdx
∞
=∞
∫
, т.е. выполнено (3.9). Функция
2
122
()()()()
x
a
yxyxQtytdt
−
=
∫
(3.21)
есть
13
решение уравнения (3.17). Пусть
0
a
>
настолько велико, что
2
x
ε
≤
при
xa
≥
, тогда интеграл из (3.21) можно представить в виде
0
2
2
()()exp{2()}(1())
xt
ax
IxQtQtdttdt
ε
−
′′
=+
∫∫
.
Докажем , что при
x
→+∞
:
0
()()()exp{2()}
xt
ax
IxJxQtQtdtdt
′′
=
∫∫
: .
Тем самым представление (3.18) будет доказано для решения
1
()
yx
, так как
00
11
()exp{2()}|exp{2()}
22
xx
x
a
xx
JxQtdtQtdt
=
∫∫
:
при
x
→+∞
. Так как
()
Jx
→+∞
при
x
→+∞
, то можно применить правило Лопиталя :
2
2
()()
limlimlim(1())1.
()()
xxx
IxIx
x
JxJx
ε
−
→∞→∞→∞
′
==+=
′
Если же интеграл
1
()
Qtdt
∞
∫
сходится, то решение
1
()
yx
можно
построить с помощью того же интегрального уравнения, что и решение
2
()
yx
(см . раздел 2).
Вронскиан
w
решений
12
(),()
yxyx
, как следует из (3.18) – (3.20),
равен
w2
=−
, и потому они линейно независимы.
В дальнейшем будем считать , что условие (3.9) выполнено.
Следствие . Пусть условие (3.5) выполнено. Тогда при
1
x
?
решение
1
()
yx
строго монотонно возрастает, решение
2
()
yx
строго монотонно
убывает, и
12
lim(),lim()0.
xx
yxyx
→∞→∞
=+∞=
(3.22)
Действительно, из (3.18), (3.20) следует, что
22
()/()()(1()),
yxyxQxx
ε
′
=+
где
()0
x
ε
→
при
x
→∞
. Пусть
0
a
>
таково,
что
|()|1/2
x
ε
≤
при
.
xa
≥
Тогда
22
1
ln()ln()()(1())()(),
2
xx
aa
yxyaQttdtQtdtxε
−=+≥→+∞→∞
∫∫
12
Провести доказательство
13
Доказать , что это имеет место 
                                                              13

          Доказательство. Существование решения                                       y2 ( x )        и оценка (3.19)
доказываются              точно              так      же,         как        и    в       теореме          1.12    Пусть
                 ∞
интеграл ∫ Q( x) dx =∞, т.е. выполнено (3.9). Функция
                1
                                                                   x
                                              y1 ( x) =y2 ( x) ∫ Q(t ) y2−2 (t ) dt                                (3.21)
                                                                  a

есть13 решение уравнения (3.17). Пусть a >0 настолько велико, что
| ε2 ( x) | ≤1/ 2 при x ≥a , тогда интеграл из (3.21) можно представить в виде
                                     x                       t
                         I ( x) =∫ Q (t ) exp{2 ∫ Q(t ′) dt ′}(1 +ε2 (t )) −2 dt .
                                     a                       x0
                                                                         x                       t
Докажем, что при x → +∞:                            I ( x) : J ( x ) =∫ Q (t ) exp{2 ∫ Q(t ′) dt ′} dt .
                                                                         a                       x0

Тем самым представление (3.18) будет доказано для решения y1 ( x) , так как
        1       x              1         x
J ( x) = exp{2∫ Q(t ) dt}|ax :   exp{2 ∫ Q(t ) dt} при x → +∞.                                               Так     как
        2      x0              2        x0

J ( x) → +∞ при x → +∞ , то можно применить правило Лопиталя:
                                   I ( x)       I ′( x )
                              lim         =lim           =lim(1 +ε2 ( x)) −2 =1.
                              x→ ∞ J ( x)  x→ ∞ J ′( x )  x→ ∞

                                                ∞
          Если же интеграл                   ∫  1
                                                    Q (t ) dt сходится, то решение y1 ( x) можно
построить с помощью того же интегрального уравнения, что и решение y2 ( x)
(см. раздел 2).
      Вронскиан w решений y1 ( x), y2 ( x) , как следует из (3.18) – (3.20),
равен w =−2 , и потому они линейно независимы.
      В дальнейшем будем считать, что условие (3.9) выполнено.
      Следствие. Пусть условие (3.5) выполнено. Тогда при x ? 1 решение
y1 ( x) строго монотонно возрастает, решение y2 ( x) строго монотонно
убывает, и
                                         lim y1 ( x) =+∞, lim y2 ( x ) =0.                                         (3.22)
                                         x→ ∞                     x→ ∞

          Действительно,                      из            (3.18),              (3.20)               следует,       что
y2′ ( x) / y2 ( x) = Q( x)(1 +ε ( x)), где ε ( x) → 0 при x → ∞. Пусть a >0 таково,
что | ε ( x) | ≤1/ 2 при x ≥a. Тогда
                                         x                               1 x
          ln y2 ( x) −ln y2 ( a) =∫ Q(t )(1 +ε (t )) dt ≥
                                                                         2 ∫a
                                                                              Q(t ) dt → +∞ ( x → ∞),
                                         a



12
     Провести доказательство
13
     Доказать, что это имеет место

Страницы