Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Пример 3.2.
9
Доказать , что приведенное уравнение Бесселя
2
2
1/4
(1)0
zzx
x
ν −
′′
+−=∂
имеет решения такие, что при
x
→+∞
:
11
12
()cos();()sin().
zxxOxzxxOx
−−
=+=+
Приведем еще один важный результат об асимптотике решений
уравнений типа (3.1):
2
(())0
ykVxy
′′
. (3.11)
Теорема 2. Пусть
0
k
>
- постоянная, функция
()
Vx
непрерывна при
0
x
≥
и выполнено условие
0
|()|.
Vxdx
∞
<∞
∫
(3.12)
Тогда уравнение (3.11) имеет линейно независимые решения вида
1,2
()e().
ikx
yxx
±
→∞
:
(3.13)
Доказательство. Представим уравнение
10
в виде
2
()
ykyVxy
′′
+= и
решим его, считая правую часть известной функцией. Тогда получим
интегральное уравнение
12
1
()eesin[()]()()
ikxikx
x
yxCCkxtVtytdt
k
∞
−
=++−
∫
. (3.14)
Положим
12
1,0
CC
==
и применим метод последовательных приближений:
01
1
()e,()esin[()]()().
ikxikx
nn
x
yxyxkxtVyytdt
k
∞
+
==+−
∫
Докажем по индукции оценку
1
()1
|()()|,()|()|.
!
n
nn
x
x
yxyxxVtdt
nk
∞
−
Φ
−≤Φ=
∫
При
1
n
=
имеем
10
0
1
|()()||()|().
yxyxVtdtx
k
∞
−≤=Φ
∫
Совершим переход от
n
к
1
n
+
. Имеем
11
1
1
|()()||sin()||()||()()|
11()
()|()|,
!(1)!
nnnn
x
n
n
x
yxyxkxtVtytytdt
k
x
tVtdt
nkn
∞
+−
+
∞
−≤−−≤
Φ
≤Φ=
+
∫
∫
так как
|()|().
Vtdtkdt
=Φ
Следовательно,
(0)
0101
0
()
|()||()(()())...(()())...|e,
!
n
nn
n
x
yxyxyxyxyxyx
n
∞
Φ
−
=
Φ
=+−++−+≤≤
∑
9
Решить пример
10
Привести соответствующие правила построения решения и построить решение 
                                                     11

          Пример 3.2.9 Доказать, что приведенное уравнение Бесселя
       ν 2 −1/ 4
 ′′
z +(1 −          ) z =0∂x имеет решения такие, что при x → +∞ :
           x2
                      z1 ( x) =cos x +O( x −1 ); z2 ( x) =sin x +O( x −1 ).
     Приведем еще один важный результат об асимптотике решений
уравнений типа (3.1):
                      y′′ +( k 2 −V ( x )) y =0 .                                                    (3.11)
          Теорема 2. Пусть k >0 - постоянная, функция V ( x) непрерывна при
x ≥0 и выполнено условие
                                           ∞
                                         ∫ | V ( x) | dx <∞.
                                          0
                                                                                                     (3.12)
Тогда уравнение (3.11) имеет линейно независимые решения вида
                                    y1,2 ( x ) : e ±ikx ( x → ∞).                                    (3.13)
          Доказательство. Представим уравнение10 в виде y′′ +k 2 y =V ( x ) y и
решим его, считая правую часть известной функцией. Тогда получим
интегральное уравнение
                                        1 ∞
             y ( x) =C1 eikx +C2 e−ikx + ∫ sin[k ( x −t )]V (t ) y (t ) dt . (3.14)
                                        k x
Положим C1 =1, C2 =0 и применим метод последовательных приближений:
                                                 1 ∞
               y0 ( x) =eikx , yn +1 ( x) =eikx + ∫ sin[ k ( x −t )]V ( y ) yn (t ) dt.
                                                 k x
                                                                   Φ n ( x)                 1 ∞
Докажем по индукции оценку | yn ( x) −yn −1 ( x) | ≤                        , Φ( x) = ∫ | V (t ) | dt.
                                                                       n!                   k x
                                          1 ∞
При n =1 имеем | y1 ( x) −y0 ( x) | ≤ ∫ | V (t ) | dt =Φ( x). Совершим переход от n
                                          k 0
к n +1. Имеем
                                  1 ∞
         | yn +1 ( x) −yn ( x) | ≤ ∫ | sin k ( x −t ) || V (t ) || yn (t ) −yn −1 (t ) | dt ≤
                                  k x
                            1 ∞        1                 Φ n +1 ( x)
                        ≤ ∫ Φ n (t ) | V (t ) | dt =                 ,
                           n! x        k                  (n +1)!
так как | V (t ) | dt =k d Φ(t ). Следовательно,
                                                                                    ∞
                                                                                        Φn ( x)
      | y ( x) |=| y0 ( x) +( y1 ( x) −y0 ( x)) +... +( yn ( x) −yn−1 ( x)) +...| ≤∑            ≤eΦ (0) ,
                                                                                   n =0  n!

9
    Решить пример
10
     Привести соответствующие правила построения решения и построить решение

Страницы