Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
где
0
k
>−
параметр , на конечном отрезке
[;]
Iab
=
. Исследуем
асимптотическое поведение решений при
k
→∞
. Введем предположения:
1.
()
qx
′′
непрерывна при
∈
;
2.
()0
qx
>
при
xI
∈
.
Теорема 1.
Если условия 1, 2 выполнены, то уравнение (4.1) имеет
решение вида
0
1,2
1/4
1,2
(,)
()exp{()}[1].
x
x
xk
yqxikqtdt
k
ε
−
=±+
∫
(4.2)
Для функций
1,2
(,)
xk
ε
справедливы оценки
0
|(,)|(,0),
j
xkCxIkk
ε
≤∈≥>
(4.3)
где постоянная
C
не зависит от
,
xk
.
Асимптотику (4.2) можно дифференцировать , т.е.
0
1,2
1/4
1,2
(,)
(,)()exp{()}[1]
x
x
xk
yxkikqxikqtdt
k
ε
′
=±±+
∫
%
. (4.4)
Для функций
j
ε
%
имеют место оценки вида (4.3).
Доказательство. Воспользуемся теоремой 1 из раздела 2. В данном
случае
2
()()
Qxkqx
=− ; положим
()()
Qxikqx
=
. Далее (см . (2.3), (2.9))
2
11
12
5/23/2
()()()
(,)
()()
x
a
qtqt
axCkdtCk
qtqt
ρ
−−

′′′
≤+≤


∫
при
0
k
>
,
∈
, так как
()0
qx
≠
, функция
()
qx
′′
непрерывна. Следовательно,
2(,)1
30
e1,(0,)
ax
CkkkxI
ρ −
−≤≥>∈
, где
0
k
фиксировано, и из теоремы 1
раздела 2 следует существование решения
y
такого, что
1
3
0
10
(,)
12
(,,)
yxk
Ck
yxxk
−
−≤
при
0
,
kkxI
≥∈
.
Так как
0
01/41/41/21/41/4
10
(,,)()exp{()},()(1)(),
x
x
yxxkQxikqtdtQxkqx
−−−−−
==−
∫
где
1/4
()0
qx
>
, то решение
y
лишь постоянным множителем
1/21/4
(1)
k
−−
−
отличается от искомого решения
1
(,)
yxk
, (см . (4.2)). Формула (4.4) для
производной
1
(,)
yxk
′
следует из (2.16). Аналогично доказывается
существование решения
2
(,)
yxk
. Вронскиан
w()
k
этих решений равен, как 
                                                       15

где    k >0 −        параметр,          на           конечном       отрезке I =[a; b] .        Исследуем
асимптотическое поведение решений при k → ∞. Введем предположения:
     1. q′′( x) непрерывна при x ∈I ;
      2. q( x) >0 при x ∈I .
     Теорема 1. Если условия 1, 2 выполнены, то уравнение (4.1) имеет
решение вида
                                               x            ε ( x, k )
                   y1,2 =q −1/ 4 ( x)exp{±ik ∫ q(t ) dt}[1 + 1,2       ]. (4.2)
                                              x0                 k
Для функций ε1,2 ( x, k ) справедливы оценки
                                | ε j ( x, k ) | ≤C         ( x ∈I , k ≥k0 >0),                         (4.3)
где постоянная C не зависит от x, k .
     Асимптотику (4.2) можно дифференцировать, т.е.
                                              x             ε% ( x, k )
           ′ ( x, k ) =±ikq1/ 4 ( x)exp{±ik ∫ q (t ) dt}[1 + 1,2
          y1,2                                                          ].                              (4.4)
                                             x0                  k
Для функций ε%j имеют место оценки вида (4.3).
      Доказательство. Воспользуемся теоремой 1 из раздела 2. В данном
случае Q( x) =−k 2 q( x) ; положим Q( x) =ik q ( x) . Далее (см. (2.3), (2.9))
                                            x� ( q′) 2 (t )   q′′(t ) �
                     ρ(a, x) ≤C1k −1 ∫ �          5 / 2
                                                            + 3 / 2 � dt ≤C2 k −1
                                              � q (t )       q (t )�
                                           a


при k >0 , x ∈I , так как q( x) ≠0 , функция q′′( x)
                                                                        непрерывна. Следовательно,
e2 ρ ( a , x ) −1 ≤C3k −1 , (k ≥k0 >0, x ∈I ) , где k0 фиксировано, и из теоремы 1
раздела 2 следует существование решения y такого, что
                            y ( x, k )
                            0
                                          −1 ≤2C3k −1 при k ≥k0 , x ∈I .
                          y ( x, x0 , k )
                            1

Так как
                                                x
       y10 ( x, x0 , k ) =Q −1/ 4 ( x)exp{ik ∫ q (t ) dt}, Q −1/ 4 ( x) =k −1/ 2 ( −1) −1/ 4 q −1/ 4 ( x),
                                                x0

где q1/ 4 ( x) >0 , то решение y лишь постоянным множителем k −1/ 2 (−1) −1/ 4
отличается от искомого решения y1 ( x, k ) , (см. (4.2)). Формула (4.4) для
производной            y1′ ( x, k )   следует          из     (2.16).    Аналогично         доказывается
существование решения y2 ( x, k ) . Вронскиан w(k ) этих решений равен, как

Страницы