Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 17 стр.

                                                 17

     Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда уравнение (4.6)
имеет решение
                                                  x            ε ( x, k )
                y2 ( x, k ) =q −1/ 4 ( x)exp{−k ∫ q(t ) dt}[1 + 2         ] (4.13)
                                                 x0               k
и для ε2 справедлива оценка (4.10). Если выполнено условие (4.11), то эту
асимптотику можно дифференцировать и для ε%                          20
                                          2 справедлива оценка (4.12) .

      Теоремы 3, 4 дают двойную асимптотику решений. Именно,
остаточные члены ε j ( x, k ) / k стремятся к нулю и при x → ∞, k
фиксированном, и при k → ∞, x фиксированном, и при x → ∞, k → ∞.
                          Теория возмущений
                 Некоторые методы построения локальных
                        асимптотических разложений
     5. Регулярная теория возмущений
Начнем со случая, когда зависимость уравнения от малого параметра ε
простейшая. Рассмотрим задачу Коши
                         dy
                            = f (t , y, ε ), y (α ) =yα ,        (5.1)
                         dt
где функция f и числа α , yα (начальное условие) заданы. Решение (5.1)
обозначим y =y (t , ε ) . Рассмотрим также задачу, которая получается из (5.1),
если в ней формально положить ε =0 :
                          dy
                             = f (t , y,0), y (α ) =yα .                 (5.2)
                          dt
решение этой задачи обозначим y =y0 (t ) . Задача (5.2) проще исходной задачи
(5.1). Иногда y0 (t ) удается даже вычислить в явном виде. Возникает
естественный вопрос о близости на некотором отрезке I : α ≤t ≤β решений
возмущенной (5.1) и невозмущенной (5.2) задач.
       Ответ на этот вопрос содержит теорема о дифференцируемости
решения по параметру, которая описывает поведение решений при ε → 0 .
Она доказывается в курсах обыкновенных дифференциальных уравнений
(см., например, Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
М.: Наука, 1983). Мы ограничимся лишь формулировкой этой теоремы21.
       Предположим, что функция f из (5.1) бесконечно дифференцируема по
совокупности           переменных t , y , ε ,   когда t ∈I , y ∈J ,0 ≤ε ≤ε0 .   Здесь   J   -

20
     Провести доказательство.
21
     Доказать.