Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 18 стр.

                                                     18

некоторый отрезок, внутренней точкой которого является yα , ε0 - константа.
Кроме того, пусть решение невозмущенной задачи (5.2) y0 (t ) существует и
единственно на отрезке I .
     Теорема 1. Если ε0 >0 достаточно мало, то при 0 <ε ≤ε0 решение
задачи Коши (5.1) существует на всем отрезке I и при любом целом n ≥0
справедливо разложение
                     y (t , ε ) = y0 (t ) +ε y1 (t ) +... +ε n yn (t ) +Rn (t , ε ),   (5.3)
Для остаточного члена при t ∈I , 0 <ε ≤ε0 справедлива оценка
                                         | Rn (t , ε ) | ≤Cnε n+1, ,                   (5.4)
где постоянная Cn не зависит от t и ε . (Оценку (5.4) можно записать короче
в виде Rn (t , ε ) ≤O(ε n+1 ), ε → +0 ).
          Полагая n =1 в (5.3), получаем, что для всех t ∈I : y (t , ε ) =y0 (t ) +O (ε ).
Таким образом, предположения теоремы 1 оказываются достаточными для
того, чтобы y0 (t ) было главным членом асимптотики решения задачи (5.1).
          Считая функцию y0 (t ) известной, найдем следующие члены асимп-
тотического разложения (5.3). Для этого подставим (5.3) в уравнение (5.1)
                    n                            n
                         i dyi                      dy
                 ∑i =0
                       ε
                           dt
                               +O(ε ) = f (t , ∑ ε i i +O(ε n +1 ), ε )
                                   n +1

                                               i =0 dt
и разложим правую часть по степеням ε с точностью до слагаемых
порядка O (ε n +1 ) . Приравнивая затем к нулю выражения при различных
степеняхε , получаем задачи для определения функций y0 , y1 ,... . Для y0 (t )
будем иметь задачу (5.2). Для функции y1 (t ) получим
             dy1 ∂f                    ∂f
                = (t , y0 (t ),0) y1 + (t , y0 (t ),0), y1 (α ) =0 .        (5.5)
             dt ∂y                     ∂ε
Это задача Коши для линейного дифференциального уравнения первого
порядка, решение которого на отрезке t ∈I существует, единственно и
может быть вычислено в явном виде22.
     В следующих приближениях также получим задачи Коши для линей-
ных дифференциальных уравнений первого порядка. Они имеют вид
            dyi ∂f
                = (t , y0 (t ),0) yi +Fi (t , y0 ,..., yi −1 ), yi (α ) =0, (5.6)
            dt dy
где i ≥2, Fi - известные функции. Решения этих задач yi (t ) при t ∈I

22
     Почему и как?