Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 20 стр.

                                          20

                             3 3         a3
                    y1 (t ) = a t sin t + (cos t −cos 3t ) . 23
                             4           16
Аналогично определяются и следующие члены разложения (5.3).
     Уже на этом примере видны некоторые закономерности, характерные
для многих задач со слабой нелинейностью. Во-первых, с увеличением
точности асимптотического разложения (5.3) в нем возрастает количество
гармоник. Действительно, нулевое приближение y0 содержит только
гармонику частоты 1, первое приближение y0 +ε y1 coдержит гармоники с
частотами 1 и 3, и т.д. Во-вторых, возникают члены, которые неограничены
на полуоси t >0 . Например, первое приближение содержит (3a 3εt sin t ) / 4 .
     Такие члены принято называть вековыми или секулярными*). Этим
названием мы обязаны тому обстоятельству, что в астрономических
приложениях величина ε оказывается обычно крайне малой. Поэтому
произведение st начинает играть заметную роль в расчетах лишь по
истечению очень большого промежутка времени t , например, порядка
столетия.
     Появление секулярных членов свидетельствует о том, что при t
порядка ε −1 (т.е. при больших временах) построенное асимптотическое
разложение уже не применимо, так как поправки перестают быть малыми.
Поэтому, разложения, пригодные при больших t (это требуется для многих
физических задач), приходится строить в ином, более сложном, чем (5.3)
виде.
      Чтобы определить, какие изменения следует внести в вид асимптотики,
найдем точное решение задачи Коши для уравнения Дюффинга (5.7). Его
анализ позволит понять, почему разложение (5.3) непригодно при больших
значениях t .

                   6. Точное решение уравнения Дюффинга
         Чтобы проинтегрировать уравнение Дюффинга, умножим его на 2 y ′(t ) .
Получим (( y ′)2 + y 2 −ε y 4 )′ =0 , откуда с учетом начальных условий для
решения задачи Коши (1.7) имеем
                  ( y ′) 2 + y 2 −ε y 4 =a 2 −εa 4 , y (0) =a .             (6.1)
Порядок уравнения понизился. Далее, выражая y ′ через y , приходим к
уравнению с разделяющимися переменными
23
     Провести выкладки.