Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 22 стр.

                                                   22

                               du 2
                           (      ) =(1 −u 2 )(1 −k 2 u 2 ), u (0) =1,                    (6.3)
                               dλ
где параметр (модуль)
                                          k = ε a 2 /(1 −εa 2 ) .                         (6.4)
Поскольку уравнение (6.2) автономное, функция u =sn(λ +c, k ) , где С –
произвольная постоянная, также будет его решением. Из условия u (0) =1
вытекает, что c =K ( k ) , так как sn( K , k ) =1 . Следовательно, решение задачи
Коши (6.3) имеет вид u (λ ) =sn(λ +K ( k ), k ) . Возвращаясь к исходным
переменным t , y , получаем, что функция
                                y (t ) =a sn( 1 −εa 2 t +K ( k ), k ) ,
где k определяется (6.4), является точным решением задачи Коши для
уравнения Дюффинга.
Так как функция sn(λ, k ) имеет период 4 K ( k ) , период точного решения y (t )
           4 K (k )            4      1             dz
есть T =
           1 −εa 2
                      =
                          1 −εa 2
                                     ∫0
                                            (1 −z 2 )(1 −k 2 z 2 )
                                                                     .   Для периода при ε → 0

справедливо разложение
                    εa2                          1 ε a z dz
                                                      2 2
                                  1    dz
          T =4(1 +       +O(ε ))(∫
                               2
                                             +∫             +O (ε 2 )) =
                     2            0
                                      1 −z 2     0
                                                   2 1 −z 2                   (6.5)
                               π εa π2
                                                            3a 2
         =(4 +2ε a 2 +O(ε 2 ))( +        +O (ε 2 )) =2π +ε       π +O (ε 2 ).
                               2    8                        2
Члены (6.5) зависят от ε . Следовательно, и угловая частота ω =2π /T также
зависит от ε , а не является тождественно единицей, как предполагалось при
построении разложения (5.3). Именно в этом кроется причина непригодности
(5.3) для уравнения Дюффинга при больших временах t. Угловая частота
всякого разложения, пригодного равномерно по t , должна зависеть от ε . В
следующем параграфе будет изложен простейший из методов, учитывающих
это обстоятельство.
                      7. Метод Линдштедта - Пуанкаре
      Метод Линдштедта - Пуанкаре мы рассмотрим на примере автономного
уравнения второго порядка со слабой нелинейностью общего вида
                            d2y               du
                               2
                                 + y =ε f ( y, ) .                 (7.1)
                            dt                dt
Здесь f - гладкая функция. При ε =0 уравнение (7.1) описывает линейные
колебания с частотой 1. Предположим, что и при малых ε уравнение (7.1)