Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 24 стр.

                                                      24

имеет периодическое решение.
     Лемма 7.1. Уравнение                         (7.5),           где      f (ψ ) − непрерывная,      2π -
пeриодическая функция, имеет 2π −периодическое решение тогда и только
тогда, когда выполнены условия разрешимости
                           2π                              2π
                       ∫   0
                                f (ξ )cos ξ d ξ =0,    ∫   0
                                                                   f (ξ )sin ξ d ξ =0,                (7.6)
(означающие отсутствие в правой части (7.5) первой гармоники).
      Доказательство. Уравнение (7.5) интегрируется в квадратурах
(например, с помощью метода вариации постоянных):
                       ψ                                        ψ
    y1 (ψ ) =sinψ ⋅ ∫ F (ξ )cos ξ d ξ −cosψ ⋅ ∫ F (ξ )sin ξ d ξ +a1 cos(ψ −δ1 ),                     (7.7)
                       0                                       0

где a1 , δ1 - константы. Поэтому
                                              2π                                     2π
          y1 (ψ +2π ) −y1 (ψ ) =sinψ ⋅ ∫ F (ξ )cos ξ d ξ −cosψ ⋅ ∫ F (ξ )sin ξ d ξ
                                              0                                      0

Таким образом, условия (7.6) необходимы и достаточны для периодичности
решения. Лемма доказана.
                                                                                dy
Если использовать коэффициенты разложения функции f ( y0 , 0 ) в ряд
                                                                                 dτ
                                   ∞
                 dy
Фурье    f ( y0 , 0 ) = f 0 ( a) +∑ ( f k ,1 (a )cos kψ +f k ,2 ( a)sin kψ ), то    условия
                 dτ               k =1

разрешимости (7.6) запишутся в виде 2ω1a + f1,1 ( a) =0, f1,2 (a) =0 . Из этих
уравнений находятся константы ω1 и a . Отметим, что в отличие от линейных
уравнений амплитуда колебаний a в слабо нелинейном случае, вообще
говоря, не является произвольной.
       Далее находим периодическое решение уравнения (7.4) по формуле
(7.7). Это решение может быть записано также в виде ряда Фурье
                                                  ∞
                                y1 (ψ ) =Y0 +∑ (Yk ,1 cos kψ +Yk ,2 sin kψ ) ,
                                              k =1

коэффициенты которого определяются из уравнения (7.4):
      ∞                                                               ∞
Y0 +∑ ( −k +1)(Yk ,1 cos kψ +Yk ,2 sin kψ ) = f 0 +∑ ( f k ,1 cos kψ + f k ,2 sin kψ ) .
              2
                                                                                                     (7.8)
     k =2                                                            k =2

Откуда
                                                      ∞
                                                              1
       y1 (ψ ) = f 0 +Y1,1 cosψ +Y1,2 sinψ +∑                      ( f k ,1 cos kψ + f k ,2 sin kψ ) , (7.9)
                                                      k =2 (1 −k )
                                                                2


где Y1,1 , Y1,2 − произвольные константы. Аналогично могут быть построены и
следующие члены разложений (7.2).