Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 26 стр.

                                            26

решений. Часто даже их нахождение представляет достаточно сложную
задачу.
     По   определению,   формальным   асимптотическим    решением
дифференциального уравнения              L(t , d / dt , y, ε ) y =0 с точностью   O (ε N )
называется такая функция y N (t , ε ) порядка O(1) , что при подстановке ее в
                               d N
уравнение возникает невязка L(t , , y , ε ) y N =O (ε N ) .
                               dt
     За этапом построения следует этап обоснования формального
асимптотического решения, т.е., доказательство того, что действительно
существует   точное    решение     уравнения,        обладающее найденной
асимптотикой. Задача обоснования, как правило, намного сложнее и требует
привлечения совершенно иных математических методов, чем для построения
формальных асимптотических решений. Этих методов мы касаться не будем.
Отметим лишь, что для уравнения Дюффинга можно непосредственно найти
асимптотику решения, разлагая при ε → 0 эллиптический интеграл - точное
решение. В результате приходим к полученным с помощью метода
Линдштедта-Пуанкаре формулам (7.11), (7.12). Следовательно, формальное
асимптотическое решение (7.11) для уравнения Дюффинга обосновано.
Подобный метод обоснования в более сложных задачах, как правило, не
применим, поскольку в них формулы для точного решения отсутствуют.

                     8. Метод Крылова-Боголюбова
      Метод Линдштедта-Пуанкаре, позволяющий находить асимптотику
периодических решений уравнения (7.1), не годится для изучения колебаний,
амплитуда которых меняется со временем, например, затухающих колебаний.
Для этого рассмотрим более сложный метод Крылова-Боголюбова.
      При отсутствии возмущений, т.е. при ε =0 , всякое решение уравнения
(7.1) имеет вид y =a cosψ , где ψ =t −δ , а амплитуда a и сдвиг фазы δ -
константы. Следовательно, a ' =0, ψ ' =1.
     Наличие слабого нелинейного возмущения приводит к медленному
изменению амплитуды a и частоты ψ ' . Поэтому будем искать
асимптотическое решение уравнения (7.1) при ε → 0 в виде
               y = y0 ( a,ψ ) +ε y1 ( a,ψ ) +... +ε n yn (a,ψ ) +O (ε n +1 ) .      (8.1)
Здесь   y0 =a cosψ ;    y1 (a,ψ ),..., yn (a,ψ ) являются 2π           - периодическими
функциями ψ , величины a и ψ определяются системой уравнений