Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 28 стр.

                                                   28

     Подставим теперь эти равенства в (8.3) и приравняем к нулю слагаемые
порядка ε . Получим уравнение
           ∂ 2 y1
                  ++y1 =2aB1 cosψ +2 A1 sinψ + f (a cosψ , −a sinψ ).                           (8.8)
           ∂ψ 2
Это уравнение вида (8.5) с правой частью
                F (ψ ) =2aB1 cosψ +2 A1 sinψ + f (a cosψ , −a sinψ ),
являющейся      2π −периодической функцией. Для разрешимости такого
уравнения необходимо и достаточно выполнения условий разрешимости
(8.6).
       Разложим в ряд Фурье функцию
                                                   ∞
           f (a cosψ , −a sinψ ) = f 0 (a) +∑ ( f k ,1 (a )cos kψ + f k ,2 (a)sin kψ ).
                                                  k =1

Тогда условия разрешимости уравнения (8.8) примут вид
           A1 ( a) =−f1,2 (a) / 2, B1 (a ) =−f1,1 (a) /(2a ).
Тем самым функции A1 ( a ), B1 ( a ) найдены. Зная A1 , B1 , можно определить
амплитуду a как решение уравнения с разделяющимися переменными
a ' =ε A1 (a) +O(ε 2 )          и           затем,          проинтегрировав                уравнение
ψ ' =1 +ε B1 (a) +O(ε 2 ) , найти функцию ψ (t ) .
      Далее разложим в ряд Фурье функцию
                                         ∞
                y1 (a,ψ ) =Y0 (a) +∑ (Yk ,1 (a )cos kψ +Yk ,2 (a)sin kψ ) .                     (8.9)
                                        k =1

Тогда уравнение (8.8) запишется в виде (7.8), откуда однозначно
определяются все коэффициенты ряда (8.9), кроме Y1,1 , Y1,2 (см. (7.9)). Но они
по условию равны нулю. Следовательно,
                                ∞
                                      1
          y1 (a,ψ ) = f 0 (a) +∑           ( f k ,1 ( a)cos kψ + f k ,2 (a )sin kψ ). (8.10)
                               k =2 1 −k
                                         2


Итак, первое приближение полностью построено.
      Аналогично находятся и высшие приближения при n ≥2 . Уравнения
для них имеют вид
                   ∂ 2 yn
                          + yn =Fn (a,ψ , A1 ,..., An , B1 ,..., Bn , y1 ,..., yn−1 ),
                   ∂ψ 2
где f n − известные         2π − периодические по переменной ψ функции. Из
                                         2π                           2π
условий     разрешимости               ∫0
                                               Fn cosψ d ψ =0,      ∫0
                                                                           Fn sinψ dψ =0    получим