Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
систему уравнений для определения функций
(),()
nn
AaBa
. Затем однозначно
находятся
(,)
n
ya
ψ
.
Замечание 8.1. В книге [Боголюбов Н . Н ., Митропольский Ю.А.
Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М .: Наука, 1974]
приведено математическое обоснование метода Крылова-Боголюбова.
Пример 8.1. рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля со слабой
нелинейностью
2
''(1)',
yyyy
ε+=− (8.11)
которое возникает при изучении автоколебательных систем . С помощью
метода Крылова-Боголюбова построим первое приближение
2
1
cos()
yayO
=++ . Согласно (8.8) для нахождения
1
y
получим
уравнение
2
22
1
111
2
2cos2sin(1cos)sin
y
yaBAaa
ψψψψ
ψ
∂
+=+−−
∂
. Так как
2
cossin(sinsin3)/4
ψψψψ⋅=+
, это уравнение можно переписать в виде
2
33
1
111
2
2cos(2)sinsin3
44
y
aa
yaBAa
ψψψ
ψ
∂
+=+−++
∂
. (8.12)
Условиями разрешимости (8.12) будут равенства
2
11
0,(4)/8,
BAaa==− а
периодическое решение, согласно формуле (8.10) имеет вид
3
1
(sin3)/32
yaψ=− . Перейдем к нахождению амплитуды
a
и фазы
ψ
. Имеем
22
'(4)()
8
a
aaO
εε
=−+
. (8.13)
Отбросим остаточный член и проинтегрируем получившееся уравнение с
начальным условием
0
(0)
aa
=
. В результате получим
21/2
00
()2sign(14/(1)e)
t
ataa
ε−−
=⋅⋅+−
.
Наконец, из уравнения
2
'1()
O
ψε
=+
найдем
0
t
ψδ
=−
. Здесь
0
δ
−
константа .
Полученные формулы позволяют описать качественное поведение
решения.
9. Метод усреднения
Изучим задачу Коши для неавтономного уравнения со слабой
нелинейностью
0
(,),(0)
dy
ftyyy
dt
ε
==
(9.1) 
                                              29

систему уравнений для определения функций An (a ), Bn ( a ) . Затем однозначно
находятся yn (a,ψ ) .
     Замечание 8.1. В книге [Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А.
Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний // М.: Наука, 1974]
приведено математическое обоснование метода Крылова-Боголюбова.
     Пример 8.1. рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля со слабой
нелинейностью
                                      y ''+ y =ε (1 −y 2 ) y ',                          (8.11)
которое возникает при изучении автоколебательных систем. С помощью
метода    Крылова-Боголюбова     построим     первое    приближение
y =a cosψ +ε y1 +O(ε 2 ) . Согласно (8.8) для нахождения                         y1   получим
               ∂ 2 y1
уравнение             + y1 =2aB1 cosψ +2 A1 sinψ −(1 −a 2 cos 2 ψ )a sinψ . Так как
               ∂ψ   2


cos 2 ψ ⋅ sinψ =(sinψ +sin 3ψ ) / 4 , это уравнение можно переписать в виде
             ∂ 2 y1                            a3      a3
                    + y1 =2aB1 cosψ +(2 A1 −a + )sinψ + sin 3ψ .                         (8.12)
             ∂ψ 2                              4       4
Условиями разрешимости (8.12) будут равенства B1 =0, A1 =a(4 −a 2 ) / 8, а
периодическое       решение,        согласно          формуле           (8.10)   имеет     вид
y1 =−(a sin 3ψ ) / 32 . Перейдем к нахождению амплитуды a и фазы ψ . Имеем
        3


                                 a
                          a ' =ε (4 −a 2 ) +O(ε 2 ) .        (8.13)
                                 8
Отбросим остаточный член и проинтегрируем получившееся уравнение с
начальным условием a (0) =a0 . В результате получим
                        a (t ) =2 ⋅ sign a0 ⋅ (1 +4 /( a02 −1)e −εt ) −1/ 2 .
Наконец, из уравнения ψ ' =1 +O (ε 2 ) найдем ψ =t −δ0 . Здесь δ0 − константа.
     Полученные формулы позволяют описать качественное поведение
решения.



                      9. Метод усреднения
     Изучим задачу Коши для неавтономного уравнения со слабой
нелинейностью
                     dy
                         =ε f (t , y ), y (0) = y0       (9.1)
                     dt

Страницы