Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 30 стр.

                                        30

(аналогично рассматриваются и системы уравнений). Нас интересует
поведение решения при ε → 0 на большом интервале времени порядка ε −1 .
Регулярное разложение (5.3) для решения такой задачи не применимо.
Для простоты предположим, что гладкая, вещественнозначная функция
 f (t , y ) 2π −периодична по t . Тогда ее можно разложить в ряд Фурье
                                                ∞
                                   f (t , y ) = ∑ f k ( y )eikt .
                                              k =−∞

При непосредственном изучении точных решений неавтономного уравнения
(9.1) возникают значительные трудности. Идея метода усреднения
заключается в замене уравнения (9.1) усредненным уравнением
                                       dy
                                          =ε f 0 ( y ),                (9.2)
                                       dt
которое получается, если в правой части (9.1) отбросить все гармоники с
k ≠0 . Здесь
                                      1 2π
                          f 0 ( y ) = ∫ f (t , y )dt .
                                     2π 0
Правая часть усредненного уравнения не зависит от t , т.е. оно стало проще.
При этом решения задач Коши для исходного уравнения (9.1) и усредненного
уравнения (9.2) с условием y (0) = y0 оказываются близки на интервале
порядка ε −1 .
     Пример 9.1. Рассмотрим уравнение
                       y ' =ε ( a +b cos t ), y (0) =0,                            (9.3)
где a и b - константы. Усредненное уравнение будет иметь вид
                          y ' =εa, y (0) =0.                                       (9.4)
Эти задачи легко решаются: y (t ) =εat +εb sin t ,           y (t ) =εat . Мы видим, что
на временах порядка ε −1 точное решение отличается от решения
усредненного уравнения лишь осциллирующей малой добавкой.
При переходе к усредненному уравнению (9.4) мы отбросили в правой части
(9.3) величины такого же порядка, как и оставленные. На временах порядка 1
как отброшенные, так и оставленные величины дают одинаковый эффект
порядка ε . Однако их влияние на временах порядка ε −1 совершенно
различно: оставленные члены приводят к систематическому дрейфу, а
отброшенные - лишь к малому дрожанию.