Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 32 стр.

                                                 32

существование у правой части уравнения среднего по времени
                                    1 T
                    f ( y ) = lim ∫ f (t , y ) dt .                    (9.9)
                             T → +∞ T 0

Если f − 2π - периодична по t , то среднее по времени совпадает со средним
по периоду:
                         1 2π n                 1 2π
              f ( y ) =lim  ∫
                   n→ ∞ 2π n 0
                                f (t , y ) dt = ∫ f (t , y ) dt =f0 ( y ).
                                               2π 0
Среднее по времени (9.9) существует для более широкого, чем
периодические, класса функций (например, для почти - периодических функ-
                                            dy
ций). Усредненным уравнением будет             = f ( y) .
                                            dt
      Замечание 9.1. Построение высших приближений, условия приме-
нимости, а также математическое обоснование метода усреднения имеются в
[Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974].
      Пример 9.2. Снова рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля (8.11) и
найдем асимптотику с помощью метода усреднения. Для этого запишем
уравнение Ван-дер-Поля в виде системы
                             y ' =u,        u ' =ε (1 −y 2 )u −y.              (9.10)
Дополним ее начальными условиями
                         y (0) = y0 ,                 u (0) =0.                (9.11)
Если ввести новые переменные a и δ по формулам y =a cos(t −δ ),
u =−a sin(t −δ ) , задача (9.10), (9.11) примет вид
       a ' =ε(a(4 −a 2 ) −4a cos 2(t −δ ) +a 2 cos 4(t −δ )) /8, a (0) =y0 ,
        δ ' =ε(−2(2 −a 2 )sin 2(t −δ ) +a 2 sin 4(t −δ )) / 8, δ (0) =0.
     Получилась неавтономная система, к которой применим метод
усреднения. Запишем усредненную систему:
                               a ' =εa (4 −a 2 ) / 8,       a (0) = y0 ,
                                       δ ' =0,        δ (0) =0.
Следовательно,     δ (t ) ≡0 , а амплитуда а удовлетворяет уравнению (8.13).
Таким образом, мы снова приходим к асимптотическому решению,
полученному ранее с помощью метода Крылова - Боголюбова.
               10. Применение и трактовка метода ВКБ
     Постановка задачи. Построим асимптотическое решение уравнения