Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 34 стр.

                                                        34

В этом уравнении есть естественный малый параметр h . Уравнение можно
переписать в виде (10.1) с ε =h / 2m и V ( x) =E −U ( x) . Если E −U ( x) ≠0 ,
то предельный переход при h → 0 называют квазиклассическим. Этот термин
берет свое происхождение от того факта, что законы классической механики
можно получить предельным переходом при h → 0 из соответствующих
квантовомеханических законов.
Асимптотическое разложение для уравнения (10.1) носит также название
ВКБ-асимптотики (по первым буквам фамилий физиков Г.Венцеля,
Г.Крамерса, Л.Бриллюэна, применивших это разложение в задачах квантовой
механики). Такое название не менее распространено, чем высокочастотная
или квазиклассическая асимптотика.
      Схема метода ВКБ. Изложим подход метода ВКБ с несколько иной
точки зрения, чем ранее. Формальное асимптотическое решение ищем в виде
          y ( x, ε ) =eiS ( x ) / ε {a0 ( x) −iεa1 ( x) +... +(−iε ) n an ( x) +O (ε n+1 )},   (10.2)
где ε → +0 , причем функция a0 ( x ) ≠0 . Дифференцируя (10.2) по x , имеем
                                           n             n −1
                        dy
                −iε        =eiS / ε {S ' ∑ (−iε ) j a j +∑ (−iε ) j +1 a j ' +O(ε n+1 )} ,
                        dx               j =0            j =0

                                                        n −1
                   d2y                 n
                 ε 2
                      2
                        =−e {( S ') ∑ (−iε ) a j +2 S ' ∑ (−iε ) j +1 a j '
                           iS / ε  2        j

                   dx                j =0               j =0
                                n −1                  n −1
                        +S '' ∑ (−iε ) a j +∑ (−iε ) j +2 a j ''+O(ε n +1 )} =
                                               j +1

                                j =0                  j =0
                                               n
                    =eiS / ε {( S ') 2 ∑ (−iε ) j a j −iε (2S ' a0 '+S '' a0 ) +
                                              j =0
                         n −2
                   +∑ ( −iε ) j +2 (2S ' a j +1 '+S '' a j +1 +a j '') +O(ε n +1 )}.
                         j =0

Подставляя затем разложения для y и ε 2 y '' в уравнение (10.1) и сокращая на
exp(iS / ε ) , получаем
                                       n
                   (( S ')2 −V )∑ (−iε ) j a j −iε (2S ' a0 '+S '' a0 ) +
                                       j =0

                       n −2
                  +∑ (−iε ) j+2 (2S ' a j+1 '+S '' a j +1 +a j '') +O(ε n+1 ) =0 .             (10.3)
                       j =0