Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 36 стр.

                                            36

                      y + + y+     |C |       1 x
            Re y+ =            =          cos( ∫ V (ξ ) d ξ +δ ) +O(ε),
                          2      4
                                   V ( x)     ε x0
                      y −y+     |C |       1 x
            Im y+ =         =          sin( ∫ V (ξ ) d ξ +δ ) +O(ε),
                        2     4
                                V ( x)     ε x0
где константа δ =arg C .
Поскольку уравнение (10.1) линейное, функции Re y+, Im y+ также будут
асимптотическими     решениями       этого   уравнения.     Так   как они
вещественнозначны, в ряде задач бывает удобно пользоваться именно ими, а
не функциями (10.7).
     2 случай. Пусть V ( x) <0 . Тогда решением (10 .4) будет функция
                                   x
                      S ( x) =±i ∫ | V (ξ ) |dξ , где x0 ∈[α ; β ] .
                                  x0

т.е. мы находимся в рамках уравнения (3.1) и теоремы 1 из пункта 3. В
терминах пункта 10 это соответствует построению ВКБ-приближений
решений вида
                           C          1 x
           y±( x, ε ) =          exp(± ∫ | V (ξ ) |d ξ )(1 +O(ε )), (10.8)
                        4
                          V ( x)      ε x0
В пункте 3 показано, что функции (10.8) удовлетворяют уравнению (10.1) с
точностью O(ε 2 y±) . Здесь C − константа, ε → +0 . В зависимости от знака +
или − получаются решения, которые линейно независимы.
       Из формулы (10.8) следует, что поведение решений (10.1) в случае
V ( x) <0 существенно изменилось: при ε → +0 они либо экспонециально
убывают, либо экспоненциально растут. Отметим также, что поскольку
функции (10.7), (10.8) имеют особенность при V ( x) =0 , ВКБ-приближение
вблизи точки поворота неприменимо.
Замечание 10.1. У уравнения (10.1) существуют точные решения (см. пункт 2,
теорема 1), имеющие выписанные выше асимптотики. В пунктах 11 - 13
приведены примеры задач, которые удается приближенно решить, используя
метод ВКБ.
 11. Задача на собственные значения для уравнения без точек поворота
      Рассмотрим простейшую задачу на собственные значения
                              d2y
                         ε2        +V ( x ) y =0,       0