Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 37 стр.

                                                       37

где ε −параметр, а положительная на отрезке [0; 1] функция V ( x) ∈C ∞ ([0; 1]) .
Собственными значениями называются такие числа ε , при которых имеются
ненулевые решения задачи (11.1), (11.2) (собственные функции).
Собственные функции определяются, очевидно, с точностью до постоянного
множителя. Для его нахождения ставится дополнительное условие
нормировки. Мы потребуем, чтобы решение имело в L2 ([0; 1]) единичную
норму:
                                                 1
                                                ∫y         ( x) dx =1 .
                                                       2
                                                                                        (11.3)
                                                 0

Такая задача на собственные значения детально изучена. Известно, в
частности» что у задачи (11.1)-(11.3) имеется счетное множество
положительных собственных значений ε =εn , n =1, 2,... причем εn → 0 при
n → ∞. Мы получим асимптотические формулы для собственных значений
εn >0 и для соответствующих собственных функций yn при больших
значениях номера n.
     Приступим к их построению. Общее решение уравнения (11.1) за-
писывается в виде линейной комбинации линейно независимых решений.
Воспользуемся функциями (10.7), в которых положим x0 =0 . Имеем
                                        c1             i x
                                                       ε ∫0
                    y ( x, ε ) =                exp(        V (ξ ) d ξ )(1 +O (ε )) +
                                   4
                                       V ( x)
                                                                                        (11.4)
                         c2         i x
                    +          exp(− ∫ V (ξ )d ξ )(1 +O (ε )),
                      4
                        V ( x)      ε 0
где константы c1 , c2         подлежат определению. В силу свойств ВКБ-
приближения эта функция удовлетворяет уравнению (11.1) с точностью
O (ε 2 ) .
        Для нахождения c1 , c2 подставим (11.4) в граничные условия (11.2).
Получим систему
                          c1 (1 +O(ε )) +c2 (1 +O(ε )) =0,
           i 1                                     i 1                             (11.5)
          ε ∫0                                    ε ∫0
       c1 exp(  V (ξ ) d ξ )(1 +O (ε )) +c2 exp( −     V (ξ ) d ξ )(1 +O (ε )) =0.

Как известно, для существования нетривиального решения систему линейных
алгебраических уравнений, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель
был равен нулю. Поэтому мы приходим к соотношению
                              1 1
                         sin( ∫ V (ξ )dξ ) +O(ε ) =0.                              (11.6)
                              ε 0