Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

39
0
11
00
0000
1
02
02
0
0
1212
cos(())sin(())
2()
()
1
()
()
112
cos(())(()).
4()
()()
xx
n
nn
n
n
n
VddxVddx
Vx
Vx
Vx
VddxO
Vx
VxVx
ε
ξξξξ
εε
ε
ξξε
ε
′

=−=



′

′





′




=−=












∫∫∫∫
(11.11)
Таким образом , константа
c
найдена.
12. Асимптотическое решение краевой задачи
Рассмотрим уравнение без точек поворота
2
2
2
()0,(0;1)
dy
Vxyx
dx
ε+=∈ (12.1)
с граничными условиями
(0,),(1,).
yAyB
==
(12.2)
Здесь
,
AB
−
константы , вещественнозначная функция
()([0;1]).
VxC
∞
∈ При
n
εε
≠
решение такой задачи существует и единственно.
I случай. Пусть
()0
Vx
>
на отрезке
[0;1]
. Найдем асимптотическое
решение задачи (12.1), (12.2) при
0
ε
→+
,
n
εε
≠
. Функцию
y
будем искать в
виде
1
0
4
2
0
4
(,)exp(())(1())
()
exp(())(1()),
()
x
x
c
i
yxVdO
Vx
c
i
VdO
Vx
εξξε
ε
ξξε
ε
=++
+−+
∫
∫
(12.3)
Чтобы определить константы
12
,
cc
, подставим выражение (12.3) в
граничные условия (12.2). Получим систему уравнений
4
12
11
4
12
00
(1())(1())(0),
exp(())(1())exp(())(1())(1).
cOcOAV
ii
cVdOcVdOBV
εε
ξξεξξε
εε
+++=
++−+=
∫∫
(12.4)
При
n
εε
≠
однородная система (12.4), (12.5) имеет только тривиальное
решение, а, следовательно, (12.4), (12.5) однозначно разрешима. Домножим
уравнение (12.4) на
1
0
exp(()
i
Vd
ξξ
ε
∫
. Вычитая затем из первого уравнения 
                                                                              39


  1    1          2                        x                   εn0              1   �1� ′         2 x
 ∫
 0
      V ( x)
             cos( 0
                 εn                        ∫
                                           0
                                               V (ξ )d ξ )dx =−
                                                                2             ∫0 � V ( x� )
                                                                                  �      �  sin(
                                                                                                 εn0 ∫0
                                                                                                        V (ξ )d ξ )dx =

               �                                                                ′                  �
           �                                           � �             �      ′                  �
           �
                                                    1   � � 1 �� �                                   �
                                                                                                                      (11.11)
  (εn0 ) 2 �                1          �
                                      1�          ′       � � V ( x� ) �           2
=                                                     −�                                               �
                                                                         � cos( 0 V (ξ ) d ξ )dx � =O((εn ) ).
                                                                                                               0 2
                                   �     �
    4 �                    V ( x) � V ( x� )             � V ( x)�                εn
                   �                                0
                                                           �              �                              �
                       �                                     �              �                              �
       �                                                                                                     �
Таким образом, константа c найдена.
             12. Асимптотическое решение краевой задачи
     Рассмотрим уравнение без точек поворота
                                                       d2y
                                                  ε2        +V ( x) y =0, x ∈(0; 1)                                       (12.1)
                                                       dx 2
с граничными условиями
                                                       y (0, ε ) =A, y (1, ε ) =B.                                        (12.2)
Здесь A, B − константы, вещественнозначная функция V ( x) ∈C ∞ ([0; 1]). При
ε ≠εn решение такой задачи существует и единственно.
        I случай. Пусть V ( x) >0 на отрезке [0; 1] . Найдем асимптотическое
решение задачи (12.1), (12.2) при ε → +0 , ε ≠εn . Функцию y будем искать в
виде
                                                               c1             i x
                                                                              ε ∫0
                                           y ( x, ε ) =                exp(        V (ξ )d ξ )(1 +O (ε )) +
                                                          4   V ( x)
                                                                                                                          (12.3)
                                                    c2         i x
                                               +          exp(− ∫ V (ξ )d ξ )(1 +O(ε )),
                                                 4 V ( x)      ε 0
Чтобы определить константы c1 , c2 , подставим                                                      выражение (12.3) в
граничные условия (12.2). Получим систему уравнений


                                               c1 (1 +O (ε )) +c2 (1 +O (ε )) =A 4 V (0),
       i 1                                i 1                                 (12.4)
c1 exp( ∫ V (ξ )d ξ )(1 +O (ε )) +c2 exp(− ∫ V (ξ )d ξ )(1 +O (ε )) =B V (1).
                                                                      4
       ε 0                                ε 0
При ε ≠εn однородная система (12.4), (12.5) имеет только тривиальное
решение, а, следовательно, (12.4), (12.5) однозначно разрешима. Домножим
                         i 1
уравнение (12.4) на exp( ∫ V (ξ ) dξ . Вычитая затем из первого уравнения
                         ε 0

Страницы