Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
Оно служит для нахождения собственных значений
n
εε
=
. Из (11.6) вытекает,
что
1
0
1
()()
n
n
VdnO
ξξπε
ε
=+
∫
, где числа
n
−
целые. (11.7)
Выражая
ε
из соотношения (11.7), приходим к следующей формуле для
асимптотик собственных значений:
1
0
0
1
().
n
Vd
n
εξξ
π
=
∫
(11.8)
Здесь
,
nn
→+∞−
целые. Из первого уравнения системы (11.5) имеем , что
21
(1())
ccO
ε
=−+
. Формула (7.4) позволяет записать выражение для
асимптотик собственных функций
0
0
0
4
1
(,)sin((),
()
x
nn
n
c
YxVd
Vx
εξξ
ε
=
∫
(11.9)
где
1
2
cic
=
- константа . Положим
1
1
2
0
2().
()
dx
c
Vx
−
=±
∫
(11.10)
Справедлива
Лемма 11.1. Число
0
n
ε
и функция
0
(,)
nn
Yx
ε
, заданные формулами (11.8)-
(11.10), являются асимптотическим решением задачи (11.1)-(11.3) на
собственные значения. А именно, при
n
εε
=
функция
0
(,)
nn
Yx
ε
удовлетворяет
уравнению (1.1) с точностью
2
()
On
−
, граничным условиям (11.2) точно, а
также условию нормировки (11.3) с точностью
2
()
On
−
. Здесь
n
→+∞
.
Доказательства требует лишь часть утверждения, касающаяся условия
нормировки. Подставляя выражение (11.9) для
n
Y
в условие (11.3), имеем
22
111
2002
0
0000
2
(,)(1cos(()))(())1,
2
2()()
x
nnn
n
ccdx
YxdxVddxO
VxVx
εξξε
ε
=−=+=
∫∫∫∫
так как интеграл от быстро осциллирующей части решения мал.
Действительно, интегрируя дважды по частям и используя формулу для
0
n
ε
,
получаем 
                                                     38

Оно служит для нахождения собственных значений ε =εn . Из (11.6) вытекает,
что
                  1     1

                  εn    ∫
                        0
                            V (ξ ) d ξ =π n +O (εn ) , где числа n − целые.                             (11.7)

Выражая εn из соотношения (11.7), приходим к следующей формуле для
асимптотик собственных значений:
                                 1 1
                           εn0 = ∫ V (ξ )d ξ.                     (11.8)
                                πn 0
Здесь n → +∞, n − целые. Из первого уравнения системы (11.5) имеем, что
c2 =−c1 (1 +O (ε )) .       Формула      (7.4)       позволяет            записать       выражение         для
асимптотик собственных функций
                                      c         1              x
                   Yn ( x, εn0 ) =
                                   4
                                     V ( x)
                                            sin( 0
                                                εn             ∫
                                                               0
                                                                    V (ξ ) dξ ,                          (11.9)

где c =2ic1 - константа. Положим
                                                                     1
                                                      1   dx        −
                                        c =± 2( ∫                  ) 2.                                (11.10)
                                                     0
                                                          V ( x)
          Справедлива
          Лемма 11.1. Число εn0 и функция Yn ( x, εn0 ) , заданные формулами (11.8)-
(11.10), являются асимптотическим решением задачи (11.1)-(11.3) на
собственные значения. А именно, при ε =εn функция Yn ( x, εn0 ) удовлетворяет
уравнению (1.1) с точностью O(n −2 ) , граничным условиям (11.2) точно, а
также условию нормировки (11.3) с точностью O(n −2 ) . Здесь n → +∞.
     Доказательства требует лишь часть утверждения, касающаяся условия
нормировки. Подставляя выражение (11.9) для Yn в условие (11.3), имеем
 1                  1       c2        2          x                    c2          1   dx
∫0 Y ( x,ε )dx =∫0 2 V ( x) (1 −cos( εn0       ∫     V (ξ ) dξ ))dx =         ∫                +O((εn0 )2 ) =1,
      2     0
     n      n                                    0                    2        0
                                                                                      V ( x)
так как интеграл                 от   быстро     осциллирующей                части решения мал.
Действительно, интегрируя дважды по частям и используя формулу для εn0 ,
получаем

Страницы