Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 40 стр.

                                                  40

системы второе, получим
                                        i 1
            c2 =( A 4 V (0) exp(
                                        ε ∫
                                          0
                                            V (ξ )d ξ −B 4 V (1) +O(ε )) /(2i ∆),

             i 1
            ε ∫0
где ∆ =sin(       V (ξ )dξ ) +O(ε). Таким образом, асимптотическое решение

задачи (12.1), (12.2) имеет вид
                          1                        i 1              x
       y ( x, ε ) =                { A 4 V (0) exp( ( ∫ V (ξ ) dξ −∫ V (ξ )d ξ )) −
                      4
                        V ( x) 2i∆                 ε 0             0


             i 1            x                               i x
      −exp(− ( ∫ V (ξ )dξ −∫ V (ξ ) dξ )) +B 4 V (1) exp( ∫ V (ξ )dξ ) −
             ε 0           0                                ε 0
            i x                        1                     1 1
     −exp(− ∫ V (ξ )dξ ) +O(ε )} =           { A 4 V (0) sin( ∫ V (ξ )d ξ ) +
           ε 0                     4
                                     V ( x)∆                 ε x
                             1 x
                             ε ∫0
                                  V (ξ ) dξ ) +(O(ε)}.
                          +B 4 V (1) sin(

Отметим, что найденная при ε → +0 асимптотика y ( x, ε ) справедлива лишь
                 1 1
                 ε ∫0
при условии | sin(    V (ξ ))d ξ | >>ε . Смысл этого условия состоит в той,

что число ε не должно находиться слишком близко (на расстоянии порядка
εn3 ) от собственных значений εn . При этом расстояние между соседними
собственными значениями в силу формулы (11.8) имеет порядок εn2 .
     2 случай. Пусть V ( x) <0 на отрезке [0;1]. Тогда решение краевой
задачи (12.1), (12.2) существует и единственно для всех ε >0 . Найдем
асимптотическое решение такой задачи при ε → +0 .
Функцию y будем искать в виде линейной комбинации ВКБ-приближений
(10.8). Чтобы решение при ε → +0 было ограниченным на отрезке [0; 1] ,
функции y+ и y− также выберем ограниченными. Для этого в y− положим
x0 =0, а в y+ — x0 =1 . Получаем
                                   c1          1 x
                  y ( x, ε ) =            exp(− ∫ V (ξ )d ξ )(1 +O (ε )) +
                                 4
                                   V ( x)      ε 0
                                                                                      (12.6)
                              c2        1 x
                         +          exp( ∫ V (ξ ) d ξ )(1 +O (ε )),
                           4
                             V ( x)     ε 0
где c1 , c2 −константы.