ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
42
2,1,1,
()()
yayby
εε
±+−
=+
. (13.2)
Применив к (13.2) операцию комплексного сопряжения, получим
2,1,1,
()()
ybyay
εε
−+−
=+
. Коэффициенты
2
1/|()|
a
ε
и
2
1/|()|
b
ε
называются
коэффициентами прохождения и отражения соответственно. Выясним, какой
физический смысл они имеют.
Для этого рассмотрим функцию
2,
/()
yya
ε
+
=
. В силу формулы (13.2)
для такого решения (13.1) имеем
//
/
()
при ,
()
(,)
1
при .
()
ixix
ix
b
eexl
a
yx
exl
a
εε
ε
ε
ε
ε
ε
−
+<−
=
>
(13.3)
Следовательно, функция
(,)
yx
ε
описывает рассеяние плоской волны
exp(/)
ix
ε
, идущей из
x
=−∞
, на неоднородностях среды в области
||
xl
<
.
При этом часть волны с множителем
1/
a
проходит через область с
неоднородной средой и уходит на
x
=+∞
.
Наша задача – найти асимптотические представления для функций
()
a
ε
и
()
b
ε
при
0
ε
→
.
Лемма 13.1. При
0
ε
→
имеют место соотношения
()exp((()1))());()().
i
aVxdxObO
εεεε
ε
∞
−∞
=−−+=
∫
(13.4)
Доказательство. Рассмотрим ВКБ-приближение (10.7), в котором
положим
0
;1:
xlc
=−=
4
1
(,)exp(())(1())
()
x
l
i
yxVxdxO
Vx
εε
ε
±
−
=±+
∫
. (13.5)
Так как при
||
xl
>
()1
Vx
≡
, в этой области функция
()
Sx
является
линейной , а решения уравнений переноса не зависят от
x
. Действительно,
при ()
x
l
xlVdxl
ξξ
−
<−=+
∫
, а при
xl
>
()
x
l
Vdxl
ξξψ
−
=+−
∫
, где
()
l
l
Vd
ψξξ
−
=
∫
. Следовательно,
()/
()/
(1())
при ,
(,)
(1())
при .
ixl
xl
eOxl
yx
eOxl
ε
ψε
ε
ε
ε
±+
±
±+−
+<−
=
+>
(13.6)
Отметим, что ВКБ-приближение в области
||
xl
>
(где
()1
Vx
≡
) является
точным решением уравнения (13.1) и применимо на всей прямой .
42
y2,± =a(ε ) y1,+ +b(ε ) y1,−. (13.2)
Применив к (13.2) операцию комплексного сопряжения, получим
y2,− =b (ε ) y1,+ +a (ε ) y1,−. Коэффициенты 1/ | a (ε ) |2 и 1/ | b(ε ) |2 называются
коэффициентами прохождения и отражения соответственно. Выясним, какой
физический смысл они имеют.
Для этого рассмотрим функцию y =y2,+ / a (ε ) . В силу формулы (13.2)
для такого решения (13.1) имеем
�
ix / ε b(ε ) −ix / ε
�� e +a(ε ) e при x <−l ,
y ( x, ε ) =� (13.3)
� 1 ε
e ix /
при x >l.
�� a(ε )
Следовательно, функция y ( x, ε ) описывает рассеяние плоской волны
exp(ix / ε ) , идущей из x =−∞, на неоднородностях среды в области | x | l V ( x) ≡1 , в этой области функция S ( x) является
линейной, а решения уравнений переноса не зависят от x . Действительно,
x x
при x <−l ∫
−l
V (ξ )d ξ =x +l , а при x >l ∫ −l
V (ξ )d ξ =ψ +x −l , где
l
ψ =∫ V (ξ )d ξ . Следовательно,
−l
� e±i ( x +l ) / ε (1 +O (ε )) при x <−l ,
y±( x, ε ) =� ±(ψ +x −l ) / ε (13.6)
� e (1 +O (ε )) при x >l .
Отметим, что ВКБ-приближение в области | x | >l (где V ( x) ≡1 ) является
точным решением уравнения (13.1) и применимо на всей прямой.
