Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 43 стр.

                                                   43

     Будем искать приближенное решение задачи рассеяния в виде линейной
комбинации функций (13.5): y ( x, ε ) =c1 y+( x, ε ) +c2 y−( x, ε ) , а значит, в силу
(13.6)
             � c ei ( x +l ) / ε (1 +O (ε )) +c2 e −i ( x +l ) / ε (1 +O(ε ))            при x <−l ,
 y ( x, ε ) =� 1 i (ψ +x−l ) / ε                           −i (ψ +x −l ) / ε
                                                                                                     (13.7)
              � 1c e                 (1 +O ( ε )) +c  2 e                    (1 +O (ε )) при x >l .
Ранее для функции y уже было получено выражение (13.3). Добьемся
совпадения формул (13.3) и (13.7) с точностью до слагаемых O(ε ) . Для этого
приравняем в (13.3) и (13.7) коэффициенты при exp(ix / ε ) . Получим
                      c1eil / ε (1 +O(ε )) =1,    c1ei (ψ −l )ε (1 +O (ε )) =1/ a,
откуда c1 =exp(−il / ε ) +O (ε ),
                                       i ∞
      a =exp(i (2l −ψ ) +O(ε ) =exp(− ∫ ( V (ξ ) −1)d ξ ) +O (ε ) .
                                      ε −∞
Если положить c2 =O (ε ), b(ε ) =O (ε ) , то и коэффициенты перед exp(−ix / ε )
станут порядка O(ε ) . Лемма доказана.




                                  Литература
    1.   Найфэ А. Введение в методы возмущений // М.: Мир, 1984, -535 с.
    2.   Перескоков     А.В.   Асимптотические     решения    обыкновенных
         дифференциальных уравнений // 1997, -108 с.
    3.   Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической
         физики // М.: Изд-во МГУ, 1982, 296 с.
    4.   Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.:
         Наука, 1985, -448 с.