ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
41
В силу свойств ВКБ-приближения
y
±
удовлетворяет уравнению (12.1) с
точностью
2
()
Oy
ε
±
. Поэтому функция
(,)
yx
ε
будет удовлетворять (12.1) с
точностью
22
()()
OyOy
εε
+−
+ . Таким образом , невязка строго внутри отрезка
[0;1]
имеет оценку
()
O
ε
∞
, и лишь вблизи концов отрезка
2
()
O
ε
.
Константы
12
,
cc
определяются из граничных условий. Подставляя
выражение (12.6) в условие
(0)
yA
=
, получаем
4
1
|(0)|(1()).
cAVO
ε
=+
Аналогично, из условия
(1)
yB
=
вытекает, что
4
2
|(1)|(1())
cBVO
ε
=+
. Итак ,
при
()0
Vx
<
асимптотическое решение краевой задачи (12.1), (12.2) имеет
вид
4
0
4
0
(0)
1
(,)exp(())(1())
()
(1)
1
exp(())(1()).
()
x
x
V
yxAVdO
Vx
V
BVdO
Vx
εξξε
ε
ξξε
ε
=−++
++
∫
∫
(12.7)
Из формулы (12.7) следует, что решение
экспоненциально убывает вне малых
окрестностей концов отрезка
[0;1]
, где
(,)
yx
ε
резко изменяется от нуля до
A
или
B
.
13. Задача рассеяния
Рассмотрим уравнение
2
21
2
()0,,
dy
Vxyx
dx
ε +=∈
Ў
(13.1)
где положительная функция
1
()()
VxC
∞
∈
Ў
и существует такое число
:0
ll
<<∞
, что
()1
Vx
≡
при
||
xl
>
. При
xl
<−
у уравнения (13.1),
очевидно, имеется два линейно независимых решения
exp(/)
yix
ε
=±
.
Обозначим через
1,
y
±
определенные на всей оси решения (13.1), равные
exp(/)
ix
ε
±
при
xl
<−
. Аналогично, определенные на всей оси решения
(13.1), равные
exp(/)
ix
ε
±
при
xl
>
, обозначим через
2,
y
±
.
Так как функции
1,
y
±
образуют фундаментальную систему решений
(13.1), то
2,
y
±
можно представить в виде линейной комбинации
1,
y
±
. Имеем
y
B
A
0 1
x
41
В силу свойств ВКБ-приближения y± удовлетворяет уравнению (12.1) с
точностью O(ε 2 y±) . Поэтому функция y ( x, ε ) будет удовлетворять (12.1) с
точностью O(ε 2 y+) +O(ε 2 y−) . Таким образом, невязка строго внутри отрезка
[0; 1] имеет оценку O(ε ∞ ) , и лишь вблизи концов отрезка O(ε 2 ) .
Константы c1 , c2 определяются из граничных условий. Подставляя
выражение (12.6) в условие y (0) =A , получаем c1 =A 4 | V (0) |(1 +O(ε )).
Аналогично, из условия y (1) =B вытекает, что c2 =B 4 | V (1) |(1 +O(ε )) . Итак,
при V ( x) <0 асимптотическое решение краевой задачи (12.1), (12.2) имеет
вид
V (0) 1 x
y ( x, ε ) = A 4 exp(− ∫ V (ξ ) d ξ )(1 +O(ε )) +
V ( x) ε 0
(12.7)
V (1) 1 x
+B 4 exp( ∫ V (ξ )d ξ )(1 +O (ε )).
V ( x) ε 0
Из формулы (12.7) следует, что решение y
экспоненциально убывает вне малых
окрестностей концов отрезка [0; 1] , где B
y ( x, ε ) резко изменяется от нуля до A или A
B.
0 1 x
13. Задача рассеяния
Рассмотрим уравнение
d2y
ε2 +V ( x) y =0, x ∈Ў1 , (13.1)
dx 2
где положительная функция V ( x) ∈C ∞ (Ў1 ) и существует такое число
l : 0 l . При x <−l у уравнения (13.1),
очевидно, имеется два линейно независимых решения y =exp(±ix / ε ) .
Обозначим через y1,± определенные на всей оси решения (13.1), равные
exp(±ix / ε ) при x <−l . Аналогично, определенные на всей оси решения
(13.1), равные exp(±ix / ε ) при x >l , обозначим через y2,±.
Так как функции y1,± образуют фундаментальную систему решений
(13.1), то y2,± можно представить в виде линейной комбинации y1,±. Имеем
