Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
Равенство (10.З ) имеет место лишь тогда, когда равны нулю суммы слагаемых
при каждой фиксированной степени
ε
. При младшей степени
0
ε
получаем
2
0
(('))0
SVa
−=
, откуда, так как
0
()0
ax
≠
,
2
('())())0.
SxVx
(10.4)
Уравнение (10.4), а точнее его многомерный аналог , в квантовой механике
называется уравнением Гамильтона – Якоби , а в оптике – уравнением
эйконала .
Отбросим в равенстве (10.3) слагаемые, перед которыми стоит
2
(')
SV
−
. Приравняв затем к нулю выражения при степенях
j
jn
ε =
получим уравнения
0
2''''0
j
SaSa
+=
, (10.5)
1
2'''''',1,...,1
jjj
SaSaajn
−
+=−=−
, (10.6)
которые называются уравнениями переноса.
Таким образом , найдены уравнения, которым удовлетворяют функции
S
и
j
a
,
0,...,1
jn
=−
, входящие в разложение (10.2). Для дальнейшего анализа
этих уравнений предположим, что у уравнения (10.1) на отрезке
[;]
αβ
нет
точек поворота , т.е. таких точек
n
xx
=
, где
()0
n
Vx
=
. Следовательно,
возможны два случая:
()0
Vx
>
или
()0
Vx
<
для всех
[;]
x
αβ
∈
. Они
принципиально отличаются друг от друга поведением решений (10.1).
Поэтому мы рассмотрим их отдельно.
1 случай. Пусть
()0
Vx
>
. Тогда, решая (10.4), имеем
0
()()
x
x
SxVd
ξξ
=±
∫
, где
0
[;]
x
αβ
∈
, т.е. мы находимся в
рамках уравнения (3.17) и теоремы 3 из пункта 3. В терминах пункта 10 это
соответствует построению ВКБ-приближений решений вида
0
4
(,)exp(())(1()),
()
x
x
Ci
yxVdO
Vx
εξξε
ε
±
=±+
∫
(10.7)
удовлетворяющих уравнению (10.1) с точностью
2
()
O
ε
. Здесь
C
- константа ,
0
ε
→+
. В зависимости от знака + или
−
получаются два решения, которые
линейно независимы.
В случае
()0
Vx
>
решения быстро осциллируют. Действительно, из формулы
(10.7) получаем , 
                                                 35

Равенство (10.З) имеет место лишь тогда, когда равны нулю суммы слагаемых
при каждой фиксированной степени ε . При младшей степени ε 0 получаем
(( S ')2 −V )a0 =0 , откуда, так как a0 ( x) ≠0 ,
                                      ( S '( x))2 −V ( x)) =0.                                (10.4)
Уравнение (10.4), а точнее его многомерный аналог, в квантовой механике
называется уравнением Гамильтона – Якоби, а в оптике – уравнением
эйконала.
     Отбросим в равенстве (10.3) слагаемые, перед которыми стоит
( S ') 2 −V . Приравняв затем к нулю выражения при степенях ε j , j =1,..., n,
получим уравнения
                                       2 S ' a j '+S '' a0 =0 ,                               (10.5)
                         2 S ' a j '+S '' a j =−a j −1 '',        j =1,..., n −1 ,           (10.6)
которые называются уравнениями переноса.
     Таким образом, найдены уравнения, которым удовлетворяют функции
S и a j , j =0,..., n −1 , входящие в разложение (10.2). Для дальнейшего анализа
этих уравнений предположим, что у уравнения (10.1) на отрезке [α ; β ] нет
точек поворота, т.е. таких точек x =xn , где V ( xn ) =0 .                           Следовательно,
возможны два случая: V ( x) >0 или V ( x) <0                         для всех x ∈[α ; β ] . Они
принципиально отличаются друг от друга поведением решений (10.1).
Поэтому мы рассмотрим их отдельно.
     1 случай. Пусть V ( x) >0 . Тогда, решая (10.4), имеем
                                 x
                     S ( x) =±∫ V (ξ )dξ , где x0 ∈[α ; β ] , т.е. мы находимся в
                                 x0

рамках уравнения (3.17) и теоремы 3 из пункта 3. В терминах пункта 10 это
соответствует построению ВКБ-приближений решений вида
                              C          i x
              y±( x, ε ) =          exp(± ∫ V (ξ )dξ )(1 +O(ε )),     (10.7)
                           4
                             V ( x)      ε x0
удовлетворяющих уравнению (10.1) с точностью O(ε 2 ) . Здесь C - константа,
ε → +0 . В зависимости от знака + или − получаются два решения, которые
линейно независимы.
В случае V ( x) >0 решения быстро осциллируют. Действительно, из формулы
(10.7) получаем,

Страницы