Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 33 стр.

                                       33

                           d2y
                          ε 2 +V ( x) y =0,      x ∈[α ; β ],
                           dx                                       (10.1)
при ε → 0 . Здесь α , β   - константы, −∞ ≤α , β ≤ +∞, вещественнозначная
функция V ( x) ∈C ∞ ([α ; β ]) . Такое линейное уравнение с малым параметром
при производной является модельным при изучении многих более сложных
математических задач. Кроме того, к нему сводится целый ряд моделей
математической физики.
     Рассмотрим, например, задачу о малых поперечных колебаниях струны.
Величину отклонения струны от положения равновесия в точке x в момент
времени t обозначим через u ( x, t ) . Функция u ( x, t ) удовлетворяет волновому
уравнению
                                   ∂ 2u        ∂ 2u
                                        =c ( x) 2 .
                                          2

                                   ∂t 2        ∂x
Будем искать периодические по времени решения: u ( x, t ) = y ( x) exp(iωt ).
Тогда для амплитуды колебаний y ( x) получим уравнение c 2 ( x) y ''+ω2 y =0.
Мы пришли к уравнению (10.1), где V ( x ) =c −2 ( x),   ε =ω−1 . Параметр ε → 0 ,
если частота колебаний ω → +∞. Поэтому и асимптотика при ω → +∞
называется высокочастотной (или коротковолновой).
     Уравнение (10.1) возникает также в квантовой механике. Движение
квантовой частицы в потенциальном поле U ( x) описывается волновой
функцией ψ ( x, t ) , которая удовлетворяет уравнению Шредингера
                             ∂ψ    h2 ∂ 2ψ
                          ih     =− ⋅ 2 +U ( x)ψ .
                              ∂t   2m ∂ x
Здесь m - масса частицы, h - постоянная Планка. Физический смысл
волновой функции заключается в том, что | ψ ( x, t ) |2 является плотностью
вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке x .
     Важную     роль    играют     решения    уравнения       Шредингера
ψ = y ( x) exp(−iEt / h) , где E - константа (энергия). Так как при этом | ψ |2 не
зависит от t , такие решения описывают стационарные состояния. Для их
нахождения имеем стационарное уравнение Шредингера
                              h2 d 2 y
                             − ⋅ 2 +U ( x) y =Ey
                              2m d x