Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 31 стр.

                                              31

                                              Поскольку      при    переходе     к
                y                             усредненному уравнению в (9.1) были
                                              отброшены величины того же порядка
                              y               малости, что и оставленное слагаемое
                                              ε f 0 , этот переход требует более
                                              обоснованной формы. Совершим в
                                              уравнении (9.1) замену переменных
                                             y =ξ +ε f%(t , ξ )                 (9.5)
где ξ - новая переменная, а
                                    −1
                                                eikt ∞             eikt
                   f%(t , ξ ) = ∑ f k (ξ )           +∑ f k (ξ )        .
                                  k =−∞          ik      k =1      ik
Оператор ~ называется интегрирующим, поскольку
                        ∂f%(t , ξ )
                                     = f (t , ξ ) − f 0 (ξ ).                               (9.6)
                           ∂t
Дифференцируя (9.5), имеем
                   dy dξ                ∂f%(t ,ξ ) dξ ∂f%(t ,ξ )
                         = +ε(                     ⋅       +         ).                     (9.7)
                   dt dt                   ∂ξ        dt         ∂t
Подставляя (9.5)-(9.7) в (9.1), получаем
         dξ     ∂f%(t , ξ ) dξ
            +ε             ⋅        +ε ( f (t , ξ ) − f 0 (ξ )) =ε f (t , ξ +ε f%(t , ξ )),
         dt        ∂ξ         dt
откуда
              dξ                 ∂f%
                  =ε (1 +ε ) −1 ( f 0 (ξ ) + f (t , ξ +ε f%) − f (t , ξ )).                 (9.8)
              dt                 ∂ξ
Мы нашли уравнение, которому удовлетворяет ξ (t ) . Разлагая затем
     ∂f% −1
(1 +ε   ) и f (t , ξ +ε f%) − f (t , ξ ) по степеням ε , получим
     ∂ξ
                             dξ
                                 =ε f 0 (ξ ) +O(ε 2 ) .
                             dt
Таким образом, правая часть (9.8) отличается от правой части усредненного
уравнения (9.2) на величину O (ε 2 ) . А поскольку точные решения уравнений
(9.1) и (9.8) связаны формулой (9.5), главным членом асимптотики будет y −
решение усредненного уравнения (9.2). Метод усреднения, один из наиболее
глубоких асимптотических методов, применим и в гораздо более общих
ситуациях. Необходимым условием его применимости является