Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 27 стр.

                                              27

                       a ' =ε A1 (a ) +... +ε n An (a ) +O (ε n +1 ),
                                                                                       (8.2)
                      ψ ' =1 +ε B1 ( a ) +... +ε n Bn ( a) +O(ε n +1 ),
причем входящие в эту систему функции A1 ,..., An , B1 ,...Bn также подлежат
нахождению.
     Для того, чтобы члены разложения (8.1) определялись однозначно, на
них следует наложить дополнительные условия. А именно, потребуем, чтобы
при n ≥1 функции yn (a,ψ ) не содержали первой гармоники. Таким образом,
первая гармоника присутствует только в главном члене асимптотики.
     Ниже мы ограничимся построением лишь первого приближения.
Поэтому выкладки достаточно проводить с точностью                             O (ε 2 ) . При
подстановке y =y0 ( a,ψ ) +ε y1 ( a,ψ ) +O(ε 2 ) в уравнение (8.1), получим
              d 2 y0          d 2 y1                        dy
                  2
                     + y0 +ε ( 2 + y1 ) +O(ε 2 ) =ε f ( y0 , 0 ) +O(ε 2 ) . (8.3)
               dt              dt                            dt
      В (8.3) приходится вычислять производные от функций вида
y =y (α ,ψ ) . Имеем
                                   dy     ∂y    ∂y
                                      =a ' +ψ '    ,                                   (8.4)
                                   dt     ∂a    ∂ψ
        d2y          2 ∂ y             ∂2 y        2 ∂ y       ∂y     ∂y
                        2                             2
             =( a ')        +2 a 'ψ '       +(ψ ')        +a '' +ψ ''    .             (8.5)
        dt 2
                       ∂a 2
                                      ∂a∂ψ           ∂ψ 2
                                                               ∂a     ∂ψ
Следовательно,
                 d 2 y0
                     2
                        =( a ''−a(ψ ') 2 )cosψ −(2a 'ψ '+aψ '')sinψ .                  (8.6)
                  dt
Далее, в силу системы (8.2)
          ( a ') 2 =O (ε 2 ), a 'ψ ' =ε A1 +O(ε 2 ), (ψ ')2 =1 +2ε B1 +O (ε 2 ),
                   a '' =(ε A1 )'+O(ε 2 ) =ε A '1 (a) a '+O(ε 2 ),                     (8.7)
              ψ '' =(1 +ε B1 )'+O(ε 2 ) =ε B '1 ( a)a '+O(ε 2 ) =O(ε 2 ).
Из формул (8.4)-(8.7) вытекает, что
   d 2 y0
       2
          + y0 =−(1 +2ε B1 +O(ε 2 ))a cosψ −(2ε A1 +O (ε 2 ))sinψ +a cosψ =
    dt
                      =ε (−2aB1 cosψ −2 A1 sinψ ) +O(ε 2 ),
                 d 2 y1       ∂ 2 y1           dy0
                        + y1 = 2 + y1 +O (ε ),     =−a sinψ +O (ε ).
                  dt 2
                              ∂ψ                dt