Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 25 стр.

                                          25

      Отметим, что при построении главного члена асимптотики              y0
пришлось рассмотреть правую часть уравнения для y1 . Так же обстоит дело и
для высших приближений: нахождение yn требует изучения правой части
уравнения для yn+1 . Это характерно для многих нелинейных задач с малым
параметром.
     Пример 7.1. Снова рассмотрим задачу Коши (5.7) для уравнения
Дюффинга. Применим к ней метод Линдштедта - Пуанкаре. Согласно этому
методу y0 =a cos(τ −δ ) , где в силу начальных условий y0 (0) =a, y0′ (0) =0
константа δ =0 .
Далее, используя (5.9), для y1 получим уравнение
                d 2 y1                  a3
                       + y1 =2ω1a cosτ + (3cosτ +cos3τ)       (7.10)
                dτ2                     2
с нулевыми начальными условиями, Константа ω1 в (7.10) находится из
условия разрешимости. Приравняв к нулю слагаемые при cosτ в правой
части, получим ω1 =−3a 2 / 4 . Второе условие разрешимости в (7.10) не
возникает, так как в правой части отсутствует sinτ. Следовательно,
начальная амплитуда a может быть произвольной, что является характерной
чертой уравнения Дюффинга.
     Формула (7.9) позволяет решить уравнение (7.10). Для периодического
решения с нулевыми начальными данными имеем y1 =a 3 (cosτ −cos 3τ) /16 .
Таким образом, асимптотическое решение задачи (5.7) примет вид
                                      εa 3
                  y (t , ε ) =a cosτ +     (cosτ −cos3τ) +O (ε 2 ),   (7.11)
                                       16
где τ =t (1 −ε ⋅ 3a 2 / 4 +O (ε 2 )) , а период колебаний равен
                2π            3a 2                3a 2π
            T = =2π /(1 −ε         +O(ε )) =2π +ε
                                       2
                                                        +O(ε 2 )) . (7.12)
                ω              4                    2
Формула (7.12) совпадает с асимптотикой периода точного решения (7.5).
Отметим, что разложение (7.11) справедливо и при больших временах t
порядка ε −1 с погрешностью O(ε ) . Однако для t порядка ε −2 разложение
уже не применимо (поскольку тогда в (7.11) tO(ε 2 ) =O(1) ). Существует
зависимость между количеством членов в асимптотическом разложении и
областью применимости асимптотики.
     При изложении метода Линдштедта - Пуанкаре, а также последующих
методов, мы ограничимся построением лишь формальных асимптотических