Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 23 стр.

                                             23

имеет периодические решения. Требуется найти асимптотические разложения
таких решений.
Основу метода Линдштедта - Пуанкаре составляет переход от переменной t к
новой независимой переменной τ =ω(ε )t , такой, что функция y =y (τ, ε )
станет 2π - периодической по τ. При этом подлежат определению не сами
функции ω(ε ) и y (τ, ε ) , а их асимптотические разложения по степеням ε
                         ω(ε ) =1 +εω1 +... +ε nωn +O (ε n+1 ),
                                                                               (7.2)
                    y (τ, ε ) =y0 (τ) +ε y1 (τ) +... +ε n yn (τ) +O(ε n +1 )
Здесь ε → 0, ω1 , ω2 ,..., ωn - константы,
y0 (τ), y1 (τ),..., yn (τ) − 2π − периодические функции.
В уравнении (7.1) введем новую переменную τ:
                            d2y                     dy
                          ω2 (ε )+ y =ε f ( y, ω(ε ) ).                 (7.3)
                            dτ 2
                                                    dτ
Далее подставим в (7.3) вместо функций ω(ε ) и y (τ, ε ) их асимптотики (7.2),
разложим получившееся выражение по степеням ε и приравняем к нулю
слагаемые при одинаковых степенях ε . Получатся уравнения для
определения функций y0 (τ), y1 (τ),..., yn (τ) , в которые войдут также числа
ω1 , ω2 ,...,ωn . Эти числа находятся из условия отсутствия секулярных членов в
разложении y (τ, ε ) . Подчеркнем, что именно введение новой переменной τ
позволяет исключить секулярные члены. Ограничимся построением первого
                                            d 2 y0
приближения. Уравнение для y0 имеет вид            + y0 =0 , общее решение
                                             dt 2
которого y0 (τ) =a cos(τ −δ ) является 2π −периодической функцией при
любых константах a и δ .
Приравняем к нулю слагаемые порядка ε , входящие в (7.3). Если заменить
           d 2 y0
при этом          на −y0 , то для нахождения y1 получим уравнение
           dτ2
                    d 2 y1                        dy
                           + y1 =2ω1 y0 + f ( y0 , 0 ).                 (7.4)
                    dτ  2
                                                  dτ
                                            dy
Обозначим ψ =τ −δ, f (ψ ) =2ω1 y0 + f ( y0 , 0 ). Тогда уравнение примет вид
                                            dτ
                                    d 2 y1
                                           + y1 =F (ψ ),                       (7.5)
                                    dψ 2
где f (ψ ) −2π −периодическая функция. Выясним, когда такое уравнение