Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 21 стр.

                                                          21

                         y ′ =± ( a 2 − y 2 )(1 −ε a 2 −ε y 2 ) ,
которое интегрируется в квадратурах.
     Получающееся таким образом решение не выражается через
элементарные функции. Однако оно может быть записано с использованием
эллиптических функций Якоби, которые возникают в большом числе задач и
детально изучены (см., например, [Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по
специальным функциям с формулами, графиками и математическими
таблицами. М.: Наука, 1979] ).
Напомним, что эллиптический синус u =sn(λ, k ) на отрезке λ ∈[ −K ; K ] , где
                                    1                  dz
                    K ( k ) =∫                                              , | k | < 1,
                                    0
                                            (1 −z 2 )(1 −k 2 z 2 )
определяется путем обращения эллиптического интеграла

                                u                    dz
                      λ =∫                                              .
                             0
                                        (1 −z )(1 −k z )
                                                 2             2   2



Это возможно, так как на этом отрезке sn(λ, k ) строго монотонно возрастает
от -1 до 1. Продолжим затем sn (λ, k ) на отрезок λ ∈[ K ; 3K ] четно
относительно точки К : sn(λ, k ) =sn(2 K −λ, k )

                                        sn ( λ , k )
                             1


              −K                        0            K                 2K          3K           λ


                           -1


и, наконец, на всю ось, считая функцию sn(λ, k ) 4К - периодической по λ .
Определенная       так       функция                        u =sn(λ, k )             будет   удовлетворять
дифференциальному уравнению
                         du
                        ( ) 2 =(1 −u 2 )(1 −k 2 u 2 ) .        (6.2)
                         dλ
К такому же уравнению сводится и уравнение Дюффинга. Действительно,
после замены y =au, t =λ / 1 −εa 2 задача (6.1) примет вид