Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 19 стр.

                                           19

существуют, единственны и записываются в квадратурах.
     Замечание 1. Разложение (5.3), полученное при t ∈I , может оказаться
непригодным для больших значений t , что существенно ограничивает
область его применимости.
     Теорема 1, сформулированная для скалярного уравнения, справедлива и
в случае задачи Коши для системы из N уравнений первого порядка,
имеющей вид (5.1), где y (t ) - вектор-функция. К таким системам сводятся
скалярные дифференциальные уравнения N -го порядка. Для вектор-
функций, описывающих члены асимптотического разложения, получаются
системы линейных дифференциальных уравнений с переменными
                                       ∂f
коэффициентами вида (5.5), (5.6) ,        - матрица Якоби. Все эти системы
                                       ∂y
различаются лишь правыми частями.
     Пример 5.1. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Дюффинга
                  y′′ +y −2ε y 3 =0 , y (0) =a, y′(0) =0,              (5.7)
где константа a ≠0, ε >0 - малый параметр, характеризующий степень
нелинейности системы. Так как ε мало, то (5.7) есть уравнение со слабой
кубической нелинейностью. Оно описывает, например, малые колебания
маятника вблизи положения равновесия.
     Построим      асимптотическое    решение      задачи     (5.7)   в
виде y (t , ε ) =y0 (t ) +ε y1 (t ) +O(ε 2 ) . Подставляя это разложение в уравнение,
имеем
                          y0′′ +y0 +ε ( y1′′ +y1 −2 y03 ) +O (ε 2 ) =0 .
Откуда для нулевого приближения y0 (t ) получаем задачу Коши
                          y0′′ +y0 =0,    y0 (0) =a,     y0′ (0) =0,
решение которой есть y0 (t ) =a cos t . Для функции y1 (t ) имеем задачу
                         y1′′ + y1 =2a 3 cos3 t , y1 (0) =y1′ (0) =0 .          (5.8)
Поскольку
                                    1       3
                            cos3 t = cos3t + cos t ,               (5.9)
                                    4       4
y1 (t ) можно найти как сумму частных решений, соответствующих каждому
из слагаемых в правой части (5.9). Таким образом, получаем