Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
следует из
(4.3),(4.4)
:
1
w()2[1()](),
kikOkk
−
=−+→+∞
и потому решения
12
,
yy
линейно независимы, если
0
k
достаточно велико
18
.
Неосциллирующие решения. Рассмотрим уравнение
2
()0.
ykqxy
′′
−=
(4.6)
Теорема 2. Если условия 1, 2 выполнены, то уравнение (4.6) имеет
решения вида
0
1,2
1/4
1,2
(,)
(,)()exp{()}[1]
x
x
xk
yxkqxkqtdt
k
ε
−
=±+
∫
. (4.7)
Для функций
1,2
ε
справедливы оценки (4.3). Асимптотику (4.7) можно
дифференцировать , т.е.
0
1,2
1/4
1,2
(,)
(,)()exp{()}[1]
x
x
xk
yxkkqxkqtdt
k
ε
′
=±±+
∫
%
, (4.8)
где для функций
1,2
ε
%
имеют место оценки вида (4.3).
Доказывается эта теорема точно так же, как и теорема 1.
Двойные асимптотики.
Рассмотрим уравнение (4.1) на
полуоси
[0;)
I
=∞
.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и сходится интеграл
1
1
|()|xdxα
∞
<∞
∫
. (4.9)
Тогда уравнение (4.1) имеет решения
1,2
(,)
yxk
вида (4.2), где для функций
1,2
ε
справедливы оценки
1,210
|(,)||()|(,0)
x
xkCtdtxIkkεα
∞
≤∈≥>
∫
. (4.10)
Если
3/2
()
lim0
()
x
qx
qx
→+∞
′
=
, (4.11)
то асимптотику (4.2) можно дифференцировать , и для функций
1,2
ε
%
справедливы оценки
1,20
|(,)|(),(,0),lim()0.
x
xkxxIkkx
εϕϕ
→∞
≤∈≥>=
%
(4.12)
Доказательство точно такое же, как и в теореме 1, с той лишь разницей,
что вместо
(,)
xa
ρ
следует взять
(,)
x
ρ
+∞
. Это же замечание относится и к
последующей теореме
19
.
18
Пояснить это утверждение.
19
Провести доказательство. 
                                                        16

следует из (4.3), (4.4) : w(k ) =−2ik[1 +O(k −1 )]                         ( k → +∞), и потому решения
y1 , y2 линейно независимы, если k >0 − достаточно велико18.
          Неосциллирующие решения. Рассмотрим уравнение
                               y′′ −k 2 q ( x) y =0.                                                 (4.6)
     Теорема 2. Если условия 1, 2 выполнены, то уравнение (4.6) имеет
решения вида
                                                 x            ε ( x, k )
             y1,2 ( x, k ) =q −1/ 4 ( x)exp{±k ∫ q(t ) dt}[1 + 1,2       ]. (4.7)
                                                x0                 k
Для функций ε1,2 справедливы оценки (4.3). Асимптотику (4.7) можно
дифференцировать, т.е.
                                               x            ε% ( x, k )
              ′ ( x, k ) =±kq1/ 4 ( x)exp{±k ∫ q(t ) dt}[1 + 1,2
             y1,2                                                       ],                           (4.8)
                                              x0                 k
где для функций ε%1,2 имеют место оценки вида (4.3).

     Доказывается эта теорема точно так же, как и теорема 1.
     Двойные        асимптотики.   Рассмотрим      уравнение                                (4.1)      на
полуоси I =[0; ∞) .
          Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и сходится интеграл
                                                  ∞
                                                ∫ | α ( x) | dx <∞.
                                                  1     1                                            (4.9)
Тогда уравнение (4.1) имеет решения y1,2 ( x, k ) вида (4.2), где для функций ε1,2
справедливы оценки
                                            ∞
                        | ε1,2 ( x, k ) | ≤C ∫ | α1 (t ) | dt ( x ∈I , k ≥k0 >0) .                  (4.10)
                                           x

Если
                                                       q′( x)
                                               lim                  =0 ,                            (4.11)
                                               x → +∞ q 3 / 2 ( x )


то асимптотику (4.2) можно дифференцировать, и для функций ε%
                                                            1,2

справедливы оценки
           | ε%
              1,2 ( x, k ) | ≤ϕ ( x ), ( x ∈ I , k ≥k0 >0), lim ϕ ( x ) =0.                     (4.12)
                                                                           x→ ∞

     Доказательство точно такое же, как и в теореме 1, с той лишь разницей,
что вместо ρ( x, a) следует взять ρ( x, +∞) . Это же замечание относится и к
последующей теореме19.


18
     Пояснить это утверждение.
19
     Провести доказательство.

Страницы