Специальный курс "Асимптотики решений дифференциальных уравнений". Глушко А.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
2
0
20
()
12(exp{2(,)}1),.
(,)
yx
xbxI
yxx
ρ
−≤⋅−∈
(2.19)
Далее, выполняются оценки
2
3/23/2
0
20
()()()
141(exp{2(,)}1)
4()4()
()(,)
yxQxQx
bx
QxQx
Qxyxx
ρ

′′′
+≤++−


(2.20)
и краевое условие
1
22
()
lim()[(())()]1.
4()
xb
Qx
yxQxyx
Qx
−
→
′
′
(2.21)
3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента
Осциллирующие решения. Рассмотрим уравнение
()0
yQxy
′′
+=
(3.1)
на полуоси
0
x
≥
. Введем условия:
1.
()0
Qx
>
при
0
0.
xx
≥≥
2.
0
Q
′′
>
непрерывна при
0.
x
≥
3. Сходится интеграл
1
0
|()|.
xdxα
∞
<∞
∫
(3.2)
Функция
1
α
выписана в лекции № 1 (см . (1.6)).
Теорема 1. Пусть условия 1 – 3 выполнены. Тогда уравнение (3.1)
имеет решения
12
(),()
yxyx
вида
2
1/4
1,21,2
()()exp{()}(1())
x
x
yxQxiQtdtx
ε
−
=±+
∫
(3.3)
и для функций
()
j
x
ε
справедливы оценки
1
|()||()|,1,2,
j
x
xCtdtjεα
∞
≤=
∫
(3.4)
где
C
−
постоянная.
Из условия 3 следует, что
()0
j
x
ε
→
при
,
x
→+∞
так что , в частности ,
справедлива асимптотическая формула
0
1/4
1,2
()()exp{()}()
x
x
yxQxiQtdtx
−
±→∞
∫
: (3.
3
′
)
Доказательство. Воспользуемся теоремой 2 из раздела 2.
Положим
0
(;)
Ix
=∞
, так что
0
,axb
==∞
и
1
(,)|()|.
x
xtdt
ρα
∞
∞=
∫
Так как этот
интеграл сходится, то
(,)0
x
ρ
∞→
при
x
→∞
и потому 
                                                    8

                       y2 ( x )
                       0
                                  −1 ≤2 ⋅ (exp{2 ρ( x, b)} −1), x ∈I .                           (2.19)
                      y ( x0 , x)
                       2

Далее, выполняются оценки
           y2′ ( x)                  Q′( x)         �     Q′( x) �
                0
                           +1 ≤ 3 / 2         +4 � 1 + 3 / 2 � (exp{2 ρ(b, x)} −1) (2.20)
        Q( x) y2 ( x0 , x)         4Q ( x)        �    4Q ( x)�
и краевое условие
                                                Q′( x)
                        lim y2′ ( x)[( Q ( x) +        ) y2 ( x)]−1 =1.            (2.21)
                         x→ b                  4Q( x)

       3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента
      Осциллирующие решения. Рассмотрим уравнение
                              y′′ +Q( x) y =0                                                        (3.1)
на полуоси x ≥0 . Введем условия:
   1. Q( x) >0 при x ≥ x0 ≥0.
   2. Q′′ >0 непрерывна при x ≥0.
   3. Сходится интеграл
                                           ∞
                                          ∫ | α ( x) | dx <∞.
                                           0    1                                                    (3.2)
Функция α1 выписана в лекции № 1 (см. (1.6)).
     Теорема 1. Пусть условия 1 – 3 выполнены. Тогда уравнение (3.1)
имеет решения y1 ( x), y2 ( x) вида
                                                            x
                    y1,2 ( x) =Q −1/ 4 ( x)exp{±i ∫ Q (t ) dt}(1 +ε1,2 ( x))                         (3.3)
                                                            x2

и для функций ε j ( x) справедливы оценки
                                           ∞
                           | ε j ( x) | ≤C ∫ | α1 (t ) | dt , j =1,2,                                (3.4)
                                           x

где C − постоянная.
     Из условия 3 следует, что ε j ( x) → 0 при x → +∞, так что, в частности,
справедлива асимптотическая формула
                                                        x
                  y1,2 ( x) : Q −1/ 4 ( x)exp{±i ∫ Q(t ) dt}                ( x → ∞)             (3. 3′ )
                                                    x0

      Доказательство.          Воспользуемся                     теоремой         2   из   раздела     2.
                                                                              ∞
Положим I =( x0 ; ∞) , так что a =x0 , b =∞ и ρ( x, ∞) =∫ | α1 (t ) | dt. Так как этот
                                                                              x

интеграл     сходится,         то      ρ( x, ∞) → 0                при      x→ ∞           и   потому

Страницы