Уравнения с частными производными: Сборник заданий по курсу. Глушко В.П - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Задание № 16. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑
x,x
u@x,yD+2*b@x,yD*∑
x,y
u@x,yD+c@x,yD*
∑
y,y
u@x,yD+d@x,yD*∑
x
u@x,yD+e@x,yD*∑
y
u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0
1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
964 y
2
,
5
ÅÅÅÅÅ
6
H-4 + 16 y
2
L, -
25
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
9
, -
640 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3 H4 + 16 y
2
L
,
800 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
9 H4 + 16 y
2
L
,0=;
2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
196 x
2
y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
729
,
2401 x
3
y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2916
,
117649 x
4
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
23328
,0,
49 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
81
,0=;
3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
94 SinA
7x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
6
E
2
,
14
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3
y SinA
7x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
6
E,
49 y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
9
,
49 x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
9
,0,0=.
Построить характеристики для этого уравнения,
если это возможно, или соответствующую
криволинейную систему координат. Если уравнение
меняет тип, то привести его к каноническому
виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.
Задание № 17. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑
x,x
u@x,yD+2*b@x,yD*∑
x,y
u@x,yD+c@x,yD*
∑
y,y
u@x,yD+d@x,yD*∑
x
u@x,yD+e@x,yD*∑
y
u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0
1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
25
H25 + 49 x
2
L, -
49xy
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
25
, -
49 y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
25
, -
98 x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
25
,0,0=;
2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
1
ÅÅÅÅÅ
4
H16 + 9x
2
L,0,
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
16
H9 + 36 y
2
L,
9x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
,
9y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
, -
9
ÅÅÅÅÅ
2
=;
3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,
yD<Ø
816 ‰
2x
,4‰
x+4y
, ‰
8y
,0,0,-16 x<.
Построить характеристики для этого уравнения,
если это возможно, или соответствующую
криволинейную систему координат. Если уравнение
меняет тип, то привести его к каноническому
виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.
14
                                                                                        14



Задание № 16. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑x,x u@x,yD+2*b@x,yD*∑x,y u@x,yD+c@x,yD*


1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
   ∑y,y u@x,yD+d@x,yD*∑x u@x,yD+e@x,yD*∑y u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0


  964 y2 , ÅÅÅÅÅ H-4 + 16 y2 L, - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
                                                 3 H4 + 16 y2 L 9 H4 + 16 y2 L
            5                      25                    640 y                                800 y
                                                                              ÅÅÅÅ
                                                                                 Å ,               ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0=;
                                                                                     ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
            6                       9


  9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0=;
     196 x2 y2 2401 x3 y 117649 x4                                                                      49 y

3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
           729                           2916                           23328                             81


  94 SinA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y SinA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, 0=.
           7 x 2 14                        7 x 49 y2 49 x
             6             3                 6               9                  9
Построить характеристики для этого уравнения,
 если это возможно, или соответствующую
 криволинейную систему координат. Если уравнение
 меняет тип, то привести его к каноническому
 виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.
Задание № 17. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑x,x u@x,yD+2*b@x,yD*∑x,y u@x,yD+c@x,yD*


1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
   ∑y,y u@x,yD+d@x,yD*∑x u@x,yD+e@x,yD*∑y u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0


  9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H25 + 49 x2 L, - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, 0=;
      1                         49 x y                 49 y2                 98 x

2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
     25                             25                    25                   25


  9 ÅÅÅÅÅ H16 + 9 x2 L, 0, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H9 + 36 y2 L, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅ =;
     1                       1                      9x 9y                       9

3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,
     4                      16                        4            4            2


   yD<Ø816 ‰2 x , 4 ‰x+4 y , ‰8 y , 0, 0, -16 x<.
Построить характеристики для этого уравнения,
   если это возможно, или соответствующую
   криволинейную систему координат. Если уравнение
   меняет тип, то привести его к каноническому
   виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.

Страницы