Уравнения с частными производными: Сборник заданий по курсу. Глушко В.П - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Дискриминант уравнения равен нулю
b2@x, yD^2- a2@x, yD* c2@x, yD
0
Это означает, что уравнение принадлежит параболическому
типу. Для построения одного семейства характеристик
уравнения (см. [1]) следует решить уравнение первого порядка
p21 = 8a2@x, yD*∂
x
j@x, yD+ b2@x, yD*∂
y
j@x, yD,
b2@x, yD*∂
x
j@x, yD+ c2@x, yD*∂
y
j@x, yD<
8-y
2
Tan@xDj
H0,1L
@x, yD+ y
4
j
H1,0L
@x, yD,
Tan@xD
2
j
H0,1L
@x, yD- y
2
Tan@xDj
H1,0L
@x, yD<
Как известно (см., например, [1]), решение уравнения первого
порядка можно свести к решению обыкновенного
дифференциального уравнения. После некоторых упрощений
находим
p22 = H-Simplify@Hp21@@1DD* y
-2
ê
j
H0,1L
@x, yDLD
ê
.yÆ y@xDL ê.
j
H1,0L
@x, y@xDD
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
j
H0,1L
@x, y@xDD
Æ-y'@xD
Tan@xD+ y@xD
2
y
£
@xD
DSolve@p22 == 0, y, xD
88y Ø Function@8x<, -H-3L
1
ê
3
HC@1D+ Log@Cos@xDDL
1
ê
3
D<,
8y Ø Function@8x<,3
1ê3
HC@1D+ Log@Cos@xDDL
1
ê
3
D<,
8y Ø Function@8x<, H-1L
2
ê
3
3
1
ê
3
HC@1D+ Log@Cos@xDDL
1
ê
3
D<<
Отсюда находим, полагая C[1]=
x
/3 :
y == 3
1ê3
J
x
ÅÅÅÅÅ
3
+ Log@Cos@xDDN
1
ê
3
Выразим x через x и y.
58
                                                  58




Дискриминант уравнения равен нулю

b2@x, yD^2 - a2@x, yD * c2@x, yD
0

Это означает, что уравнение принадлежит параболическому
типу. Для построения одного семейства характеристик
уравнения (см. [1]) следует решить уравнение первого порядка

p21 = 8a2@x, yD * ∂x j@x, yD + b2@x, yD * ∂y j@x, yD,
      b2@x, yD * ∂x j@x, yD + c2@x, yD * ∂y j@x, yD<
8-y2 Tan@xD jH0,1L @x, yD + y4 jH1,0L @x, yD,
  Tan@xD2 jH0,1L @x, yD - y2 Tan@xD jH1,0L @x, yD<

Как известно (см., например, [1]), решение уравнения первого
порядка можно свести к решению обыкновенного
дифференциального уравнения. После некоторых упрощений
находим

p22 = H-Simplify@Hp21@@1DD * y-2 ê jH0,1L @x, yDLD ê. y Æ y@xDL ê.
  jH1,0L @x, y@xDD
 jH0,1L @x, y@xDD
                            ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ Æ -y '@xD
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Tan@xD + y@xD2 y£ @xD

DSolve@p22 == 0, y, xD
88y Ø Function@8x<, -H-3L1ê3 HC@1D + Log@Cos@xDDL1ê3 D<,
  8y Ø Function@8x<, 31ê3 HC@1D + Log@Cos@xDDL1ê3 D<,
  8y Ø Function@8x<, H-1L2ê3 31ê3 HC@1D + Log@Cos@xDDL1ê3 D<<

Отсюда находим, полагая C[1]=x /3 :

                 J ÅÅÅÅÅ + Log@Cos@xDDN
                                        1ê3
           1ê3      x
y == 3
                    3
Выразим x через x и y.

Страницы