Погрешности измерений при экспериментальных исследованиях двигателей внутреннего сгорания. Гоц А.Н - 34 стр.

                                            ν
                                            ∑ xi mi
                                x = i =1                .                            (10.3)
                                                n
      Вычисленное по формуле (10.3) среднее значение называется взве-
шенным, так как частоты mi называются весами, а операция умножения xi
на mi – взвешиванием.
                                2
     Очевидно, что x и s – случайные величины, поскольку являются
функциями от случайных величин. Если имеется ряд выборок объема n, то
                                                                 2
соответственно имеется и ряд значений x и s . Как и всякая случайная
                                                        2
величина, каждая из величин x и s характеризуется какой-то своей
функцией плотности, а также средним значением и дисперсией. Пусть
среднее значение и дисперсия случайной величины ξ равны соответствен-
но μ и σ2. В математической статистике доказывается, что среднее значе-
ние и дисперсия случайной величины x определяются следующими фор-
мулами:
                                        1 n              1 n
                           M (x) =        ∑
                                        n i =1
                                              M ( xi ) =   ∑ μ = μ,
                                                         n i =1
                                                                                     (10.4)


                       [
          D 2 ( x ) = M ( x − μ) 2 =    ]   1 n
                                                ∑ D 2 ( xi ) =
                                            n 2 i =1
                                                                  1 n 2 σ2
                                                                   2∑
                                                                 n i =1
                                                                       σ =
                                                                           n
                                                                             .
                                                                                     (10.5)


      Из формул (10.4) и (10.5) следует, что среднее значение случайной
величины x равно μ, а стандартное отклонение равно σ n и становится
очень малой величиной при больших объемах выборки n. Поэтому на ос-
новании уравнения (10.4) можно утверждать, что при достаточно больших
n случайная величина x , определяемая по формуле (10.1), будет как угод-
но мало (в статистическом смысле) отличаться от среднего значения μ. Это
и является основанием для принятия величины x , определяемой по фор-
муле (10.1), в качестве оценки значения μ.
                                                                                 2
     Рассмотрим теперь среднее значение случайной величины s . Оно
определяется формулой

               2
          M (s ) =
                     1 n
                         ∑
                   n − 1 i =1
                                    [    2
                             M ( xi − x ) =       ∑ ]
                                              1 n 2 σ2
                                            n − 1 i =1
                                                      (σ − ) = σ 2 ,
                                                          n
                                                                                     (10.6)


34