Погрешности измерений при экспериментальных исследованиях двигателей внутреннего сгорания. Гоц А.Н - 40 стр.

т. е. точные решения каких-либо (m+1) из уравнений системы могут не
удовлетворять остальным уравнениям. Заметим, в случае n < m+1 система
(11.2) была бы совместной и всегда имела бы бесчисленное множество ре-
шений. В этом случае нет смысла применять метод наименьших квадратов.
При п>т+1 задача состоит в том, чтобы найти такие значения неизвестных
параметров, которые будут удовлетворять этим уравнениям наилучшим
образом (хотя и неточно). Иначе говоря, требуется найти наиболее вероят-
ные значения неизвестных коэффициентов a0, a1,…, am. Эти вероятные
значения будут тем более близки к истинным, чем больше число измере-
ний.
     Так как уравнения (11.2) удовлетворяются неточно, то
                      yi — f(xi, a0, а1, ..., am) = εi, (i = l, 2, ..., n), (11.3)
где εi – отклонения измеренных значений yi от вычисленных по формуле
(11.1). Принцип наименьших квадратов утверждает, что наивероятней-
шими значениями коэффициентов a0, a1,…, am, которые можно получить
из ряда измерений одинаковой точности, являются такие значения, при
которых сумма квадратов отклонений εi будет наименьшей, т. е.
                                  n
                                 ∑ [ yi −   f ( xi , a0 , a1 , ..., am )]2 = min .   (11.4)
                                 i =1
    При этом полагаем, что отклонения εi подчиняются нормальному за-
кону распределения. Рассматривая a0, а1, ..., am как независимые перемен-
ные и приравнивая к нулю частные производные от левой части по этим
переменным, получим в точности m+1 уравнений с m+1 неизвестными.
Составление и решение этой системы особенно просто в том случае, когда
функция f(xi, a0, а1, ..., am) линейна относительно коэффициентов. Наиболее
простое решение получим, когда зависимость (11.1) имеет вид многочлена
                          y = a0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a m x m                    (11.5)
с неизвестными коэффициентами.
     Нашей задачей является нахождение по результатам эксперименталь-
ных наблюдений наиболее вероятных значений коэффициентов a0, a1, …,
am. Если бы число измеренных значений x и y в точности равнялось числу
неизвестных коэффициентов a0, a1, …, am, то определить их затруднения не
представляло бы. Значительно более важным является тот случай, когда
число наблюдений п много больше степени многочлена (п >> m+1). Требу-
ется найти коэффициенты a0, a1, …, am, дающие минимум функции
                n
          Φ=   ∑ [ yi − (a0 + a1 xi + a 2 xi2 + ... + a m xim )]2 .                  (11.6)
               i =1
    Дифференцируя правую часть зависимости (11.6) по a0, a1,…, am,
получим:
40