Погрешности измерений при экспериментальных исследованиях двигателей внутреннего сгорания. Гоц А.Н - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

42
Тогда 7=2k+1, а k=3; h=1, x
k+1
=4. В соответствии с зависимостью (11.9) u
принимает значения
–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.
Если искать зависимость у от u, т. е. найти коэффициенты многочлена
,...
10
m
m
uauaay +++= (11.10)
то система (11.10) для определения a
0
, a
1
, …, a
m
значительно упро-
стится, ибо благодаря выбору значений и суммы нечетных степеней будут
равны нулю:
.0...
12
1
3
12
1
===
∑∑
+
=
+
=
k
i
i
k
i
i
uu (11.11)
Для случая четного числа наблюдений п = 2k введем переменную и равен-
ством
1
)(2
−
−
=
h
xx
u
k
или .
2
)1(
k
x
hu
x +
+
= (11.12)
Тогда при изменении индекса у х от 1 до 2k величина u последовательно
будет равна
–2k+1,…, –5, –3, –1, 1, 3, 5,…, 2k–1
и снова сумма нечетных степеней u будет равна нулю. После того, как
многочлен (11.10) будет определен (т. е. найдены его коэффициенты),
можно перейти к старой переменной х по формулам (11.9) или (11.12).
Выясним, как будет выглядеть система
(11.8) в простейших случаях
многочленов первой, второй и третьей степени.
Пусть у = a
0
+ a
1
u; тогда, учитывая равенство (11.11), получим вместо
системы двух уравнений с двумя неизвестными два независимых уравне-
ния, так как
0
=
∑
i
u
(здесь и в дальнейшем суммирование ведется в пре-
делах от 1 до n, и индексы суммирования для краткости опускаются)
,,
2
1
0 iiii
yuuayna
∑∑∑
==
откуда
.;
1
2
10
∑
∑
∑
==
i
ii
i
u
yu
ay
n
a
(11.13)
Для случая многочлена второй степени система (11.8) запишется в виде (в
трех уравнениях будут отсутствовать члены, умножаемые на суммы не-
четных степеней u):
.
,
,
24
2
2
0
2
1
2
20
iiii
iii
ii
yuuaua
yuua
yuana
∑∑∑
∑∑
∑∑
=+
=
=+
(11.14) 
Тогда 7=2k+1, а k=3; h=1, xk+1=4. В соответствии с зависимостью (11.9) u
принимает значения
                      –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.
Если искать зависимость у от u, т. е. найти коэффициенты многочлена
                           y = a0 + a1u + ... + a m u m ,             (11.10)
то система (11.10) для определения a0, a1, …, am          значительно  упро-
стится, ибо благодаря выбору значений и суммы нечетных степеней будут
равны нулю:
                      2 k +1        2k +1
                       ∑ ui     =    ∑      ui3 = ... = 0.            (11.11)
                       i =1         i =1
Для случая четного числа наблюдений п = 2k введем переменную и равен-
ством
            2( x − x k )                   (u + 1)h
        u=               −1 или       x=            + xk .         (11.12)
                 h                            2
Тогда при изменении индекса у х от 1 до 2k величина u последовательно
будет равна
                   –2k+1,…, –5, –3, –1, 1, 3, 5,…, 2k–1
и снова сумма нечетных степеней u будет равна нулю. После того, как
многочлен (11.10) будет определен (т. е. найдены его коэффициенты),
можно перейти к старой переменной х по формулам (11.9) или (11.12).
     Выясним, как будет выглядеть система (11.8) в простейших случаях
многочленов первой, второй и третьей степени.
     Пусть у = a0+ a1u; тогда, учитывая равенство (11.11), получим вместо
системы двух уравнений с двумя неизвестными два независимых уравне-
ния, так как ∑ ui = 0 (здесь и в дальнейшем суммирование ведется в пре-
делах от 1 до n, и индексы суммирования для краткости опускаются)
                       na 0 = ∑ yi , a1 ∑ ui2 = ∑ ui yi ,
откуда
                               1                   ∑ ui yi .
                      a0 =       ∑ yi ; a1 =                          (11.13)
                               n                   ∑ ui2
Для случая многочлена второй степени система (11.8) запишется в виде (в
трех уравнениях будут отсутствовать члены, умножаемые на суммы не-
четных степеней u):
                       na0 + a 2 ∑ u i2 = ∑ yi ,
                                     a1 ∑ ui2 = ∑ u i yi ,            (11.14)
                      a0 ∑ ui2 + a 2 ∑ u i4 = ∑ ui2 yi .

42

Страницы