Исследование и построение графиков функций с помощью системы "Математика". Голованева Ф.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
5. Асимптоты графика функции (в случае их существования).
Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если рас -
стояние между точками данной прямой и точками , лежащими на
графике функции, стремится к нулю при неограниченном удалении
по графику от начала координат .
Вертикальная асимптота: если при x→ a, f(x)→±∞, то прямая х = а
является вертикальной асимптотой.
Горизонтальная асимптота: если при х
→±∞
, f(x)
→
b, то прямая
f(x)=b является горизонтальной асимптотой.
Наклонная асимптота возможна в случае , когда при x→±∞; f(x)→±∞.
Если существуют пределы a
x
)x(f
lim
x
=
∞→
и
b]ax)x(f[lim
x
=
−
∞→
, то пря-
мая y = ax + b является наклонной асимптотой к кривой.
Может ли график функции пересекать собственную асимптоту?
Ответ обосновать.
Что можно узнать о графике функции по ее производным ?
6. Точки экстремума функции и интервалы ее монотонности. Значения функ-
ции в точках экстремума.
Порядок исследования функции на экстремум:
Способ 1: Если
1. Функция f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности
u
δ
(x
0
). Точка х
0
такая , что 0)x(f
0
=
′
или не существует , тогда
х
0
- критическая точка – точка возможного экстремума;
2. f(x) имеет конечную производную
)x(f
′
в области u
δ
(x
0
);
3. Производная
)x(f
′
сохраняет определенный знак слева от х
0
и
справа от х
0
.
Тогда поведение функции будет определяться таблицей:
Таблица 2.1
Знак производной и монотонность функции
x < x
0
x > x
0
Знак про -
изводной
Моно-
тонность
Знак про -
изводной
Моно-
тонность
Вывод
I.
+
↑
+
↑
Экстремума нет
II.
+
↑
-
↓
МАКСИМУМ
III.
-
↓
+
↑
минимум
IV.
-
↓
-
↓
Экстремума нет
´
                                        12

5. Асимптоты графика функции (в случае их существования).
       Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если рас-
       стояние между точками данной прямой и точками, лежащими на
       графике функции, стремится к нулю при неограниченном удалении
       по графику от начала координат.

       Вертикальная асимптота: если при x→ a, f(x)→ ±∞, то прямая х = а
       является вертикальной асимптотой.

      Горизонтальная асимптота: если при х→ ±∞, f(x)→ b, то прямая
      f(x)=b является горизонтальной асимптотой.

      Наклонная асимптота возможна в случае, когда при x→ ±∞; f(x)→ ±∞.
                                    f (x)
      Если существуют пределы lim         =a и lim [ f ( x ) −ax ] =b , то пря-
                                x→ ∞ x         x→ ∞

      мая y = ax + b является наклонной асимптотой к кривой.


  ¥     Может ли график функции пересекать собственную асимптоту?
        Ответ обосновать.

         Что можно узнать о графике функции по ее производным?

6. Точки экстремума функции и интервалы ее монотонности. Значения функ-
   ции в точках экстремума.

                    Порядок исследования функции на экстремум:
            Способ 1: Если
             1. Функция f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности
                u δ(x0). Точка х0 такая, что f ′( x 0 ) =0 или не существует, тогда
                х0 - критическая точка – точка возможного экстремума;
             2. f(x) имеет конечную производную f ′( x ) в области uδ(x0);
             3. Производная f ′( x ) сохраняет определенный знак слева от х0 и
                справа от х0.
           Тогда поведение функции будет определяться таблицей:
                                                                         Таблица 2.1
     Знак производной и монотонность функции                         Вывод
              x < x0                     x > x0
     Знак про-        Моно-       Знак про-   Моно-
      изводной тонность изводной тонность
I.        +              ↑           +            ↑            Экстремума нет
II.       +              ↑            -           ↓              МАКСИМУМ
III.      -              ↓           +            ↑                 минимум
IV.       -              ↓            -           ↓            Экстремума нет

Страницы