Исследование и построение графиков функций с помощью системы "Математика". Голованева Ф.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
f(х
3
) = ?
f(х
4
) = ?
0)x(f
1
=
′
- или не существует -
0)x(f
2
=
знак + -
+
х
1
=max х
2
=min
Способ 2: Если функция f(x) дважды дифференцируема и в некоторой точке х
0
выполнены условия
0)x(f
0
=
′
и
0)x(f
0
≠
′
′
,
то в этой точке функция f(x) имеет экстремум , а именно:
МАКСИМУМ при 0
0
<
′
′
)x(f
и минимум при 0
0
>
′
′
)x(f .
Способ 3: Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности u
δ
(x
0
) производ -
ные )x(
1n
f),...,x(f
−
′
и в точке х
0
производную )x(f
0
)n(
, причем
0)x(f
0
)k(
=
при (k=1;( n-1)), 0
0
≠)x(f
)n(
.
Тогда: если n четное, то функция f(x) имеет экстремум, а именно:
МАКСИМУМ при 0)x(f
0
)n(
<
и минимум при 0)x(f
0
)n(
>
;
если n нечетное, то функция f(x) в точке х
0
экстремума не имеет .
7. Точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции. Значения
функции в точках перегиба .
Достаточное условие точки перегиба: точка х
0
, для которой либо
)x(f
′
′
= 0, либо )x(f
′
′
не существует , есть точка перегиба, если )x(f
′
′
ме-
няет свой знак при переходе через точку х
0
.
Функция y=f(x) выпукла вверх на промежутке I, если при всех х∈I
)x(f
′
′
< 0; выпукла вниз на промежутке I, - если при всех х∈I )x(f
′
′
>0.
: =0 - или не ∃ - )x(f
4
′
′
=0
+ - +
вып . ↓ х
3=
т.п . вып . ↑ х
4
= т.п . вып . ↓
f(х
1
) = ?
f(х
2
) = ?
0)(
1
<
′
′
xf 0)x(f
2
>
′
′
)x(f
′
′
)x(f
3
′
′
)x(f
′
                                                      13



                         f ′( x 1 ) =0 - или не существует - f ′( x2 ) =0

   знак f ′( x )             +                                 -                            +
                                         х1=max                                     х2=min
                                    f ′′( x1 ) <0                               f ′′( x2 ) >0
                                    f(х1) = ?                                   f(х2) = ?

Способ 2: Если функция f(x) дважды дифференцируема и в некоторой точке х0
                            выполнены условия
                                  f ′( x0 ) =0 и f ′′( x0 ) ≠0 ,
          то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно:
                            МАКСИМУМ при f ′′( x0 ) <0
                         и минимум            при f ′′( x0 ) >0 .

 Способ 3: Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности uδ(x0) производ-
     ные f ′( x ),..., f n −1 ( x ) и в точке х производную f ( n ) ( x ) , причем
                                                           0                             0

                     f ( x0 ) =0 при (k=1;( n-1)), f ( x0 ) ≠0 .
                             (k )                                       (n)


        Тогда: если n четное, то функция f(x) имеет экстремум, а именно:
                             МАКСИМУМ при f ( n ) ( x 0 ) <0
                          и минимум        при f ( n ) ( x 0 ) >0 ;
        если n нечетное, то функция f(x) в точке х0 экстремума не имеет.

7. Точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции. Значения
   функции в точках перегиба.
       Достаточное условие точки перегиба: точка х0, для которой либо
    f ′′( x ) = 0, либо f ′′( x ) не существует, есть точка перегиба, если f ′′( x ) ме-
   няет свой знак при переходе через точку х0.

      Функция y=f(x) выпукла вверх на промежутке I, если при всех х∈I
    f ′′( x ) < 0; выпукла вниз на промежутке I, - если при всех х∈I f ′′( x ) >0.

         f ′′( x ) :          f ′′( x3 ) =0 - или не ∃ - f ′′( x 4 ) =0
                             +                 -                      +

                       вып. ↓       х3=т.п.         вып. ↑           х4= т.п.      вып. ↓


                                f(х3) = ?                          f(х4) = ?

Страницы