Исследование и построение графиков функций с помощью системы "Математика". Голованева Ф.В - 22 стр.

                                                                      22
          x′t ( t ) =0, y′t ( t ) =0, но
          ( x′t ( t ))2 +( y′t ( t )) 2 ≠0 .
         Точки возврата – это точки, в которых x t′ ( t ) = y t′ ( t ) =0 , но
(&
 x&( t )) +(&
         2
                 y&( t ))2 ≠0 .* Обозначим такую точку t0. В такой точке график функции,
заданной параметрически, может вести себя следующим образом.

           A                        B                                                         A     B
            t0                                                                                 t0

         Рис. 1                                                       Рис. 2
где АВ – касательная к графику функции в точке (x(t0); y(t0)). На рисунке 1 изо-
бражено поведение функции в точке возврата I рода, а на рисунке 2 – в точке
возврата II рода. Чтобы определить, какая именно точка возврата имеет место,
необходимо в выражении
      A(t) = y (t n ) ( t ) ⋅ x′t′ ( t ) −x (t n ) ( t ) ⋅ y′t′ ( t )
                          n           2             n           2


найти наименьшее n, при котором A(t0) ≠0.
Если n – нечетно, то (x(t0); y(t0)) – точка возврата I рода.
Если n – четно, то (x(t0); y(t0)) – точка возврата II рода.
      Точки самопересечения (в которых кривая сама себя пересекает) находят
из следующего соображения: хотя каждому значению t соответствует одна
вполне определенная точка кривой, одной и той же точке кривой могут соот-
ветствовать разные значения параметра t. Т.к. для двух значений t и t1 абсцисса
x и ордината y в точке самопересечения должны быть одними и теми же, то из
уравнений кривой следуют два условия для t и для t1: x(t) = x(t1) и y(t) = y(t1).
      Уравнение касательной к графику функции, заданной параметрически,
можно найти из равенства
       y −y( t 0 ) &   y&( t )
                    = 0 .
       x −x ( t 0 ) &  x&( t 0 )
      Если & y&( t 0 ) =0 , то касательная к графику функции в точке t0 горизонталь-
на.
      Если & x&( t 0 ) =0 , то касательная к графику функции в точке t0 вертикальна.
      Другой способ нахождения касательных к кривой, параллельных осям
координат, рассмотрен при исследовании функции, приведенной в примере 1.
      Чтобы определить асимптоты к графику функции, заданной параметриче-
ски, находим t = ti, в которых:
      lim x(t) = ∞, но lim y(t) = b. Тогда y = b – горизонтальная асимптота.
            t→ ti                         t→ ti


          lim y(t) = ∞, но lim x(t) = a. Тогда x = a – вертикальная асимптота.
            t→ ti                         t→ ti




*
 В данном случае мы пользуемся следующими обозначениями:
x ′t ( t ) = x&( t ), y ′t ( t ) = y&( t ), x ′tt′ ( t ) = &
                                                           x&( t ), y′tt′ ( t ) = &
                                                                                  y&( t ) .